Tesis

Nivelaci´n de Matem´tica o a

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Vectores: Producto escalar y vectorial
Versores fundamentales Dado un sistema de coordenadas ortogonales, se considera sobre cada uno de los ejes y coincidiendo con el sentido positivo de los mismos los versores: ı, , k, cuyas componentes son: ı = (1, 0, 0)  = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1) y se llaman versores fundamentales. Todo vector A = (a1 , a2, a3 ) puede escribirse en la forma: A = a1 ı + a2  + a3 k Esta descomposici´n de un vector como suma de tres vectores en la direcci´n de los o o ejes coordenados es muy importante y util. Se llama descomposici´n can´nica de ´ o o un vector. Ejemplos: 1) Vectores en el plano: dado el vector A, con origen en P (−3, 5) y extremo en Q(4, 7); podemos escribirlo en funci´n de sus componentes como: o A= (7, 2) = 7ı + 2 2) Vectores en el espacio: dado un vector C, con origen en R(3, −1, 4) y extremo en S(0, 3, −2); podemos escribirlo en funci´n de sus componentes como: o C = (−3, 4, −6) = −3ı + 4 − 6k 3) y T B = 2ı + 6
T ¢ ¢  ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ E E

6

O 2ı

x

1.

Producto escalar

Se llama producto escalar o producto interno de dos vectores A = (a1 , a2 , a3 ) B = (b1 , b2 , b3 ),al escalar: A · B = a1 b 1 + a2 b 2 + a3 b 3 Observaci´n importante: el producto escalar entre dos vectores es un n´mero o u Ejemplos: 1) Si A1 y A2 son vectores de R2 con componentes A1 = (−1, 2) y A2 = (2, −9), entonces el producto escalar entre ellos es: A1 · A2 = (−1)2 + 2(−9) = −20 2) 1) Si B1 y B2 son vectores de R3 con componentes B1 = (−3, −1, 7) y B2 = (−2, 0, 1), entonces el productoescalar entre ellos es:

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B1 · B2 = (−3)(−2) + (−1)0 + 7 1 = 13 Propiedades: 1. A · B = B · A 2. A · (B + C) = A · B + A · C 3. Si λ es un n´mero real cualquiera: (λA) · B = A · (λB) = λ(A · B) u 4. Si A es el vector nulo (A = O = (0, 0, 0)), entonces A · A = 0; si A es cualquier otro vector: A · A = |A|2 Todas estas propiedades son sencillas dedemostrar usando la definici´n de producto o escalar. Observaci´n: Para los versores fundamentales ı, , k, resulta que: o ı·ı=·=k·k =1 ı·=·k =k·ı=0

Teorema 1: Si A y B son dos vectores perpendiculares, entonces: A · B = 0. y T

 ¢ d + B  A   ¢ d ¢      ¢   A ¢     s d 90◦ ¢   B d ¢  d¢  

O

x

E

Si A y B son perpendiculares, A + B es la diagonal de un rect´ngulo, cuyos lados amiden |A| y |B|. Luego: |A + B|2 = |A|2 + |B|2 (teorema de Pit´goras) a 2 2 Como: |A + B| = (A + B) · (A + B) = |A| + |B|2 + 2A · B (por propiedades del producto escalar) Por lo tanto: 2A · B = 0 que es lo mismo que: A·B =0

1.1.

´ Angulo entre dos vectores

Dados dos vectores A = (a1 , a2 ) y B = (b1 , b2 ). Y αA es el angulo entre A y el eje ´ x y αB el ´ngulo entre B y el eje x. a Lascomponentes de A son: a1 = |A| cos αA y a2 = |A|senαA . Las componentes de B son: b1 = |B| cos αB y b2 = |B|senαB . El ´ngulo entre A y B es θ = αB − αA a

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T y

3

b2 a2
¢ ¢ ¢

B
¢  ¢       

A

O

¢θ   ¢  ¢  

b1

a1

x

E

A · B = a1 b1 + a2 b2 = |A| cos αA |B| cos αB + |A|senαA |B|senαB = |A||B|(cos αA cos αB + senαA senαB ) =|A||B| cos(αB − αA ) = |A||B| cos θ Luego: El ´ngulo θ entre dos vectores, se calcula: a cos θ = A·B |A||B|

Ejemplo: El coseno del angulo entre los vectores A = (3, −2, 0) y B = (−2, 1, 5) es: ´ 8 3(−2) + (−2)1 + 0(5) = −√ cos θ = 390 32 + (−2)2 + 02 (−2)2 + 12 + 52 Observaci´n 1: Puesto que cos θ = o A·B podemos deducir otra forma para

|A||B| calcular el producto escalar entre dos vectores:A · B = |A||B| cos θ Observaci´n 2: Si cos θ = 0, entonces o = 0. Pero puesto que |A| > 0 y |A||B| |B| > 0, tiene que ser A · B = 0 y luego θ = π/2, es decir, A es perpendicular a B. A·B

Del Teorema 1 y de la observaci´n anterior se desprende el siguiente resultado que o nos da una condici´n para saber cuando dos vectores son perpendiculares: o Propiedad importante: Dados dos vectores A y...