Texto de geografia

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Convivencia Educativa A. C.
Araceli Castillo Macias
Agosto 2001
PROBLEMA RESUELTO

Sea ABC un triángulo equilátero y P, Q y R los puntos medios de AB, BC y CA respectivamente. Los arcos PR, PQ y QR tienen como centro los vértices del triángulo. Si un lado del triángulo mide 6 ¿Cuál es el perímetro de la región PQR?

• Para comprender el problema.

¿Qué es lo que nos piden? Nos pideencontrar el perímetro de la región formada por los arcos RP, PQ y QR

¿ Cuáles son los datos que nos dan? 1) el triángulo ABC es equilátero y su lado mide 6. 2) P, Q y R son puntos medios de los lados del triángulo. 3) los arcos que forman la región a la que hay que encontrarle el perímetro tienen como centros los vértices del triángulo.

Podemos representar gráficamente el enunciado.Trazamos el triángulo equilátero ABC y marcamos los puntos medios de cada uno de los lados. P corresponde al lado AB, Q al BC y R al CA. Con una abertura del compás de la mitad del lado, es decir 3, y con centro en cada uno de los vértices del triángulo trazamos tres circunferencias las cuales se tocaran dos a dos en un solo punto, los puntos P, Q y R.

•Para elaborar una estrategia.

¿Qué aspectos se relacionan con nuestro problema y no están en los que éste nos da? ¿Qué otros conceptos conocemos que se involucren en el problema?

1- El perímetro de una figura es la suma de las longitudes de los lados que la forman.
2- Cada uno de los arcos que forman la región es parte de una las circunferencias que trazamos.
3- El perímetro de uncírculo, es decir, la longitud de su circunferencia la podemos calcular por medio de la fórmula 2(r.
4- El triángulo equilátero es el que tiene sus tres lados iguales y sus tres ángulos iguales.
5- La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180(.
6- Los lados del triángulo forman en cada círculo un ángulo central, el cual se mide por el arco que subtiende. Haciendo laequivalencia de radianes a grados e inversamente.

¿Cómo se relacionan los datos con lo que nos pide el problema?

Lo que nos interesaría conocer es la longitud de cada arco. Si conocemos la longitud de una de las circunferencias, digamos la que tiene centro en C, y logramos ver que parte de ésta es el arco RQ entonces tendríamos la longitud del arco.

• Para registrar el proceso desolución
.
Cada uno de los pasos que realizamos deberá ser justificado.
¿Podemos ver claramente que cada paso es correcto?
¿Podemos demostrar cada una de nuestras afirmaciones?

Iniciemos buscando la longitud del arco RQ. Observamos que el arco RQ es subtendido por el ángulo central que tiene vértice en C y lados CR y CQ ( (RCQ), sabemos que (RCQ = 60(; pues los ángulos del triánguloequilátero son iguales y suman 180(.
Recordamos también que el ángulo que da toda la vuelta ( poligonal) mide 360(, de donde inferimos que (RCQ = 1/6 del ángulo poligonal. Pues 60 = 360/6. Por lo que el arco RQ es la sexta parte de la circunferencia (C) y como C = 2(r y r = 3, entonces C = 2(3 = 6 (, por tanto, el arco RQ = 1/6 (6 () = (.

Faltaría encontrar la longitud de los otros dos arcos.Recordemos que las circunferencias tienen el mismo radio y que los tres ángulos del triángulo miden 60(. Por tanto obtenemos que los tres arcos miden lo mismo. Así, el perímetro de la región es igual a tres veces la longitud de uno de los arcos, de donde tenemos que el perímetro = 3 (.

• Para comprobar la solución.

¿Podemos verificar fácilmente nuestro resultado?

Podemos comprobar lasolución intuitivamente.
Como cada uno de los tres arcos es igual a 1/6 de la circunferencia, entonces entre los tres forman 3/6 de ésta. 3/6 = ½ por tanto los tres arcos suman media circunferencia, es decir, ½ (6 () = 3 (.

PROBLEMAS PARA RESOLVER

Sea ABC un triángulo equilátero y P, Q y R los puntos medios de AB, BC y CA respectivamente. Los arcos PR, PQ y QR tienen como centro los...
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