the woman in white

´
MATEMATICAS
´
MATEMATICAS

´
MATEMATICAS
´
MATEMATICAS

CIENCIAS SOCIALES I

tetraedro

cubo

octaedro

24 de junio de 2011

Germ´n Ib´nez
a
a˜
http://www.otrapagina.com/matematicas

dodecaedro

icosaedro

.

1.

EL NUMERO REAL

1.1.

Tipos de n´ meros
u

a. Naturales: 0, 1, 2, 3, 4, . . .
b. Enteros: −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .
c. Racionales: Sepueden escribir de dos formas:

3 9
7
4 0
1 328 3 29
50
5’5714285. . .
, ,
En forma fraccionaria: − , −
4
37 5 186
1 0
En forma decimal: 0′ 2, −0′ 827, −0′ 232323 . . .
3 0
2 0
Los n´meros racionales escritos en forma decimal se caracterizan
u
6 0
4 0
porque llega un momento en que las cifras de despu´s de la coma
e
5
10
39
1
′
′
′
se repiten : = 0 25000 . . . ,
= 3 333. . . ,
= 5 571428571 . . .
una divisi´n acaba repiti´ndo¨
o
e
4
3
7
se”

d. Reales: Son los racionales junto con los irracionales.
Los irracionales son aquellos cuya parte decimal no se repite:
√
2 = 2′ 414213562 . . . , π = 3′ 141592654 . . . , 1′ 01001000100001 . . .
√
Vemos que 2 tiene expresi´n decimal no peri´dica
o
o
por lo tanto no es racional sino irracional. En lafigura:
√
hipotenusa = 12 + 12 = 2
√
Luego 2 se puede representar en la recta, por tanto
en la recta hay m´s puntos que n´meros racionales.
a
u

√

2
1

0

El n´mero π = 3′ 1415 . . . Es la longitud de media
u
circunferencia de radio uno.

1
1

√

2

Un n´mero irracional no se puede escribir exactamente en forma decimal, aunque se pueden
u
hallar tantas cifras decimales comose desee.
Otro irracional famoso es el n´mero e = 2′ 71828 . . .
u
Es el n´mero al que se acerca la expresi´n
u
o
por ejemplo:

1.2.

1
1+
100

100
′

= 2 7048,

1+

1
n

1
1+
1000

n

cuando n es un n´mero natural muy grande
u
1000

= 2′ 7169

Motivos para ampliar el conjunto de los n´ meros
u

El motivo por el que se va ampliando el conjunto de n´meros esque hay operaciones que no se
u
pueden hacer todas las veces:
Se pasa de los naturales a los enteros para poder restar siempre
Se pasa de los enteros a los racionales para poder dividir siempre

1 EL NUMERO REAL

2

Se pasa de los racionales a los reales para poder hacer ra´
ıces de n´meros positivos siempre y
u
poder expresar cualquier longitud con un n´mero.
u

1.3.

Los n´meros reales
u

Los n´meros racionales junto con los irracionales forman el conjunto de los n´meros reales, se
u
u
representan por R.
Propiedades de la suma y el producto de los n´meros reales Lo que se dice para la suma
u
vale para la resta y lo que se dice para el producto sirve para la divisi´n. Las operaciones suma (+)
o
y producto (.) de n´meros cumplen las siguientes propiedades:
uConmutativa: a + b = b + a ; a . b = b . a
es decir: Para la suma, el orden de los sumandos no altera la suma.
Para la multiplicaci´n, el orden de los factores no altera el producto.
o
Asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c; a.(b.c) = (a.b).c
es decir: para sumar varios n´meros da igual el orden en que se hacen las sumas . Lo mismo se
u
dir´ para el producto.
ıa
√
√
6 27
= 2 27Ejemplo:
3
En el caso del producto tambi´n se dice: para multiplicar un producto por un n´mero se multiplica
e
u
uno solo de los factores.
Elemento neutro:
Elemento sim´trico
e
producto.

el 0 para la suma y el 1 para el producto
del n´mero a es: el opuesto −a para la suma y el inverso
u

1
si a = 0 para el
a

1
Ejemplos: de 3 el opuesto es −3 y el inverso
3
1
7
5
de el inversoes 5 =
7
5
7

Distributiva del producto respecto de la suma: a.(b + c) = a.b + a.c
es decir: para multiplicar una suma por un n´mero se multiplica cada uno de los sumandos.
u
Ejemplos:
√
√
3(7 + 5) = 21 + 3 5
√
√
√
Leyendo al rev´s es la operaci´n de sacar factor com´n: 21 + 3 5 = 3 · 7 + 3 5 = 3(7 + 5)
e
o
u
√
3 10 √
No confundir con la asociativa del producto:
= 10
3
√...