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TEMA 6. ANÁLISIS DE LA VARIANZA (ANOVA) Objetivo: contrastar la igualdad de medias de más de dos poblaciones (extensión de la comparación de dos medias) Terminología • Variable dependiente: característica cuantitativa que se estudia en cada una de las poblaciones. • Factor: variable cualitativa que clasifica las observaciones en grupos o poblaciones diferentes • Nivel del factor: valores quepuede tomar el factor Ejemplo 1: Objetivo: estudiar si las nota media en estadística de los estudiantes de LE de las universidades pública y privada de Navarra, del País Vasco y de la Rioja son iguales • Variable dependiente: nota en la asignatura estadística • Factor: Universidad • Niveles del factor: 1=Pública de Navarra, 2=Privada de Navarra, 3=UPV, 4=de la Rioja Ejemplo 2: Objetivo: estudiar si elrendimiento medio de una explotación agrícola es el mismo según el fertilizante utilizado • Variable dependiente: kg de cosecha recogido • Factor: tipo de fertilizante • Niveles del factor: 1=fertilizante nuevo, 2=fertilizante antiguo, 3=no utilizar fertilizante

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Planteamiento del contraste Hipótesis nula: todas las medias son iguales Hipótesis alternativa: alguna media es diferenteEjemplo 1:
H 0 : µ1 = µ2 = µ3 = µ4 H1 : alguna es diferente del resto donde µi es la nota media en estadística de la universidad i

Ejemplo 2:

H 0 : µ1 = µ2 = µ3 H1 : alguna es diferente del resto

donde µi es la media de los kg. de cosecha cuando se utiliza el fertilizante i

Sobre el estadístico de contraste Se toma una muestra independiente en cada población y se calcula su media y suvarianza.

El estadístico de constraste se construye en función de la variabilidad que contienen los datos Si la variabilidad en torno a cada media muestral es pequeña en comparación con la variabilidad entre las diferentes medias muestrales nos inclinamos a dudar de la hipótesis nula. Si la variabilidad en torno a cada media muestral es grande en relación con la variabilidad entre las diferentesmedias muestrales, no tendremos evidencia en contra de la hipótesis nula

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POBLACIONES

MUESTRAS

1=UPNA

µ1

X1 S12

2=UPRIVNAV

X2
S
2 2

µ2

X
S2

3=UPV

µ3
4=URIO

X3 S32

µ4

X4 2 S4

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2. Análisis del la varianza de un factor Sean k muestras independientes observaciones de k poblaciones Grupo Observaciones 1 2 … k con

n1 , n2 ,..., nk

MediasMedias muestrales poblacionales

x11 .x12 ,..., x1n1 x21.x22 ,..., x2 n2
…

x1

x2
…

µ1 µ2
µk
…

xk1.xk 2 ,..., xknk

xk

El análisis de la varianza contrasta la hipótesis nula

H 0 : µ1 = µ 2 = ... = µ k

Sean
ni

n = n1 + n2 + ... + nk

xi =

∑x
j =1

ij

ni
k ni

i=1, 2,…,k la media muestral del grupo i

x =

∑∑ x
i =1 j =1

ij

n

=

∑n x
i =1k

i i

n

la media muestral global

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Variabilidad dentro de los grupos (intra-grupos) En el grupo i la suma de los cuadrados de las desviaciones de las observaciones respecto de su media muestran es
SCi = ∑ ( xij − xi ) 2
j =1 ni

La variabilidad total dentro de los grupos Mide la variación en las observaciones debida a un error aleatorio

SCD = SC 1+ SC2 + ... + SCk = ∑∑ ( xij − xi ) 2
i =1 j =1

k

ni

Variabilidad entre los grupos (inter-grupos) Mide la extensión de la variación, en las observaciones, que se debe a la diferencia entre las variables (los tratamientos).

SCE = ∑ ni ( x i − x ) 2
i =1

k

Cuanto mayor es SCE mayores son las diferencias entre las medias y la media global, mayor motivo para rechazar la hipótesis nula. Variabilidad totalSCT = ∑∑ ( x ij − x ) 2
i =1 j =1

k

ni

Se demuestra que

SCT = SCD + SCE La variabilidad total de todas las observaciones en torno a su media global es la suma de la variabilidad dentro de los grupos(suma de los cuadrados de los errores) y la variabilidad entre los grupos
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El ANOVA es un contraste parámetrico en el que se debe cumplir: • Las distribuciones poblacionales son...