Tiempos promedio de primer paso

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TIEMPOS PROMEDIO DE PRIMER PASO

Para una cadena ergódica, sea mij = numero esperado de transiciones antes de llegar primero al estado j, dado que en la actualidad nosencontramos en el estado i; mij se llama tiempo promedio de primer paso del estado i al estado j.

Por ejemplo, m12 seria el número esperado de refrescos de cola comprados por unapersona que compró cola 1 antes de comprar primero un refresco de cola 2. Suponga que la posición actual es el estado i.

Entonces con probabilidad Pij, tomará una transiciónir del estado i al estado j. para k diferente de j, se pasa a continuación con probabilidad pij al estado k.

En este caso, llevara un promedio de 1 + mkj transiciones ir de ia j. Este razonamiento implica que:

Mij = Pij (1) + ∑ pik (1 + mkj)
k≠j

Puesto que:
Pij + ∑ pik =1
k≠j

La última ecuación se podría rescribir como:

Mij= 1 + ∑pikmij
k≠j
(13)
Al resolver las ecuaciones dadas anteriormente, se podrían encontrar los tiempos promedio de primer paso. Se puede demostrar que:

mij= 1
π1Esto puede simplificar el uso de la ecuación (13).
Para ilustrar el uso de (13), se determinan los tiempos promedio de primer paso del ejemplo. Recordando que π1= 2/3 y π2=1/3. Entonces:

M11= 1 =1.5 y m22= 1=3
2 1
3 3
Ahora de (13) se obtienen las ecuaciones siguientes:
M12= 1 + p11m12= 1 + 0.9m12, m21=1 + p22m21 = 1 + 0.8m21

Al resolver estas dos ecuaciones, se encuentra que m12 = 10 y m21 = 5. Esto significa, por ejemplo, que una persona que tomó porprimera vez cola 1 tomará un promedio de diez refrescos antes de cambiar a cola 2.
Bibliografía:
Investigación de operaciones.
Capitulo 17. Cadenas de Markov.
Pagina 939.
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