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102 EJERCICIOS DE ALGEBRA LINEAL por Francisco Rivero Mendoza Ph.D.
Tema 1. Espacios Vectoriales.
1. Dar la definici´n de cuerpo. Dar tres ejemplos de cuerpos. Dar un ejemplo o de un cuerpo finito 2. Defina espacio vectorial sobre un cuerpo K 3. Probar que en todo espacio vectorial sobre K se cumple i) 0 · v = 0, para todo v ∈ V . ii) λ · 0 = 0 para todo λ ∈ K. 4. Demuestre que en todo espaciovectorial V sobre K vale la ley distributiva generalizada: (λ1 + · · · + λs ) · v = λ1 · v + · · · + λs · v

5. Demuestre que el conjunto de las matrices cuadradas 2x2, sobre los n´meros reales es un espacio vectorial sobre R. u 6. Demuestre que el conjunto de los polinomios en una indeterminada x, con coeficientes reales es un espacio vectorial sobre R. 7. Denotamos por C[0, 1] al conjunto de todaslas funciones cont´ ınuas definidas en el intervalo cerrado [0, 1] con valores en R. Demuestre que C[0, 1] es un espacio vectorial sobre R con las operaciones de suma de funciones y multiplicaci´n de una funci´n por un n´mero real. o o u 8. Demuestre que el conjunto de todas las n-uplas de n´meros reales, con u las operaciones de suma de n-uplas componente a componente y mulo u tiplicaci´n de unan-upla por un n´mero real, denotado por Rn es un espacio vectorial sobre R. 9. Demuestre que el conjunto de todos los n´meros complejos es un espacio u vectorial sobre R. 10. Defina subespacio vectorial de un espacio V. 11. Demuestre que el conjunto W = {(x, y, z) : de R3 . y = 0} es un subespacio

12. Demuestre que el conjunto de las funciones de C[0, 1], que satisfacen f (1/2) = 0 es unsubespacio de C[0, 1]. ¿ Ser´ cierto el mismo resultado a para las funciones f, que satisfacen f (1/2) = 3?

13. Sea D2 el conjunto de matrices diagonales de orden 2x2 sobre los n´meros u reales. Demuestre que D2 es un subespacio del espacio vectorial definido en el problema 3. 14. Demuestre que los siguientes vectores de R3 son linealmente independientes: v1 = (3, 0, −1), v2 = (4, 2, 2) y v3 = (10, 2,0). 15. ¿Para que valor de α ser´n dependientes los vectores: a v1 = (1, 2, 3), v2 = (2, −1, 4) y v3 = (3, α + 1, 4)?. 16. Demuestre que el conjunto de vectores u1 = (1, 1, 2, 1), u2 = (1, 1, 2, 0), u3 = (0, 5, 2, 1) y u4 = (1, 0, 2, 1) forman una base de R4 . 17. Demuestre que el conjunto {1, x, x2 , x3 } es una base del subespacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a tres. 18.Demuestre que todo espacio vectorial, finitamente generado,posee una base. 19. Sean U y W subespacios de V . Demuestre que dim(U + W ) = dim(U ) + dim(W ) − dim(U ∩ W ) . 20. Sea U = (1, 0, 2, −1), (1, 1, 1, 0) y W = (1, 0, 10), (1, 0, 0, 3) , hallar una base de U ∩ W y de U + W . 21. Sean a1 , · · · , an vectores linealmente independientes, en un espacio vectorial V. Probar que si para algunos αi ,βj se tiene α1 a1 + · · · αn an = β1 a1 · · · βn an entonces αi = βi , para todo i.

Tema 2. Aplicaciones Lineales.
1. Defina aplicaci´n lineal entre dos espacios vectoriales V y U o 2. Determine cu´les de las aplicaciones siguientes de R2 en s´ mismo son a ı lineales T (x, y) = (x + 5y, 1) T (x, y) = (x + 5y, 0) S(x, y) = (x + 5y, 100x) L(x, y) = (x − 5y, 2x + 4y) T (x, y) = (x2 + 5y, y 2 )3. Demuestre que la aplicaci´n T : R3 −→ R3 , dada por (x, y, z) −→ o (3y, z − x, x + y + z) es una aplicaci´n lineal. o 4. Sea L : V −→ W una aplicaci´n lineal. Defina el kernel de L y la im´gen o a de L. ¿ Cu´l es el kernel de la aplicaci´n lineal anterior? a o o 5. Sea L : V −→ W una aplicaci´n lineal. Demuestre que el Kernel de L es un subespacio de V. Demuestre que la imagen de L es unsubespacio de W. 6. Sea L : V −→ W una aplicaci´n lineal, la cual es sobre. Demuestre que o L es un isomorfismo entre espacios vectoriales, s´ y s´lo si KerL = {0} ı o 7. Sean L : V −→ W y T : V −→ W aplicaciones lineales. Demuestre que L + T y λ · L, donde λ ∈ K, son aplicaciones lineales. 8. Demuestre que el conjunto L(V, W ), de aplicaciones lineales de V en W es un espacio vectorial. 9. Defina anillo...
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