Tiro Parabólico Con Rozamiento

En la página anterior "Movimiento vertical de una esfera en el seno de un fluido" hemos estudiado el movimiento de un objeto lanzado verticalmente hacia arriba en un medio que opone resistencia a su movimiento y lo comparamos con el movimiento del mismo cuerpo en el vacío.
Aplicamos dos modelos de fuerza para describir la resistencia que opone el medio al movimiento del cuerpo.
• Una fuerza derozamiento proporcional a la velocidad, para bajos valores del número de Reynolds
• Una fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad para altos números de Reynolds.
En esta página, vamos a estudiar el movimiento de proyectiles disparados con la misma velocidad inicial v0 pero con ángulos de tiro  distintos.
Como hemos visto en la página "Movimiento bajo la aceleraciónconstante de la gravedad" el proyectil disparado en el vacío con un ángulo de  =45º tiene un alcance máximo. Vamos a comprobar si esta afirmación se mantiene cuando el proyectil (por ejemplo, una pelota de golf) se mueve en un medio como el aire.

Fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad
Si despreciamos el empuje, las fuerzas que actúan sobre el cuerpo de masa m son:
• El peso mg
• Lafuerza de rozamiento Fr, que es sentido contrario al vector velocidad (tangente a la trayectoria). Fr=-mbv.
Las ecuaciones del movimiento del cuerpo serán por tanto.

La solución de estas ecuaciones con las condiciones iniciales t=0, vx=v0x, vy=v0y, son

Integrando de nuevo, con las condiciones iniciales t=0, x=0, y=0, tenemos

Para un proyectil disparado con velocidad v0 y ángulo de tiro . Las velocidades iniciales son
v0x=v0•cos
v0y=v0•sen
Alcance del proyectil, altura máxima y tiempo de vuelo
El proyectil llega al suelo y=0, a una distancia x=R del origen. R se denomina alcance del proyectil.
En la primera ecuación ponemos x=R y despejamos el tiempo de vuelo t,

sustituyéndola en la segunda ecuación con y=0.

Altura máxima, como vy=dy/dt=0, despejamos el tiempot

Se introduce en la expresión de y
Actividades
Se introduce
• El valor del parámetro b
• La velocidad inicial de disparo v0
• El ángulo de tiro θ
Se pulsa el botón titulado Calcular
• El programa interactivo, calcula el alcance R, resolviendo la ecuación trascendente por el método del punto medio.
• Calcula el tiempo de vuelo
• La altura máxima
Entre paréntesis se muestran losresultados para el caso del tiro parabólico ideal (sin rozamiento)

Cuando hay rozamiento, el alcance máximo no se obtiene para 45º, sino para un ángulo ligeramente inferior. Calcular el alcance para 45º, 44º, 43º...
Aproximaciones
Si la resistencia del aire es pequeña b~0, el término ln(1-bR/v0x) se puede desarrollar en serie hasta potencias de tercer orden en b.

Haciendo algunas operacionesobtenemos la ecuación de segundo grado en R

Donde R0 es el alcance cuando no se considera el rozamiento del aire.
Ejemplo: Sea v0=60 m/s. y θ=45º
Cuando no se considera rozamiento el alcance es

Cuando hay un pequeño rozamiento con el aire b=0.01, el alcance se obtiene resolviendo la ecuación de segundo grado en R, cuya raíz positiva es R=348.3 m

Actividades
Se introduce:
• Elvalor del parámetro b en unidades s-1, el control de edición titulado c/m
• La velocidad inicial v0 en el control de edición titulado Velocidad inicial.
Se pulsa el botón titulado Empieza
El programa interactivo traza las trayectorias y calcula el alcance de los proyectiles disparados con ángulos de 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 y 45º (en color rojo)
Compara estas trayectorias con la que seguiría elmismo proyectil disparado con un ángulo de 45º en el vacío (en color azul).
En la parte superior derecha del applet, se muestra el alcance de cada uno de los proyectiles. Podemos observar que el máximo alcance no se obtiene para el ángulo de disparo de 45º sino para un ángulo inferior. Y como cabía esperar, el alcance del proyectil disparado con 45º es inferior en un medio como el aire que en...