Tobera convergente divergente - problema resuelto

PROBLEMA 2
2- El esquema definido en la figura muestra una instalación de bombeo de agua. Sabiendo que las longitudes y los diámetros de cada tramo de conducto son conocidos, halle:
1. El caudal circulante en cada tramo, así como las presiones en cada uno de los nudos.
2. Realice de nuevo el problema modificando el diámetro de los conductos para que la velocidad de circulación de fluidoen los mismos sea de aproximadamente 1-2 m/s.
Deben utilizarse en todo momento las bombas que se definen en este enunciado, entendiendo además que las cotas de los nudos y los depósitos no se pueden modificar.

Las longitudes de cada uno de los conductos son L 1-3 = 200 m, L 2-3 = 250 m, L 3-4 = 50 m, L 4-5 = 200 m, L 4-6 = 300 m, L 7-6 = 70 m, L 6-8 = 200 m, L 8-9 =300 m, L 8-10 = 200 m.
Las cotas de los diversos puntos son Z1 = 260 m, Z2 = 250 m, Z3 = 200 m, Z4 = 180 m, Z5 = 135 m, Z6 = 140 m, Z7 = 80 m, Z8 = 140 m, Z9 = 160 m, Z10 = 150 m.
Se considera que la bomba 1 está muy cercana al depósito 7 y que la bomba 2 está situada a la misma cota que los puntos 6 y 8.
Las curvas características de cada una de estas dosbombas vienen dadas por las ecuaciones
HB1 = -81973·Q762+100
HB2 = -30116·Q682+50,037
Considerar para el apartado 1 que el diámetro de cada uno de los tubos es de 0,1 m. La tobera de salida del punto 10 tiene un diámetro de 0,05 m. La tubería se considerará lisa en todos los tramos.
Las direcciones de los diversos flujos son conocidas y vienen dadasen la figura.
APARTADO 1
Para este apartado aplicaremos la ecuación de la energía (en este caso, aplicada al flujo en tuberías) para los conductos y la ecuación de continuidad para los nudos. Primero vayamos a explicar cómo se aplica la ecuación de la energía:
δQ+δWeje+δWτ=δm·V222+P2ρ2+u2+g·z2-δm·V122+P1ρ1+u1+g·z1

donde se ha tenido en cuenta que en la entrada la velocidad y el diferencialde superficie van en sentido contrario, por lo que el producto escalar es negativo. En la salida van en el mismo sentido.
Al dividir por el flujo másico ya ningún término nos dependerá del tiempo:
q+weje+wτ=u2-u1+g·z2-z1+V222-V122+P2ρ2-P1ρ1
Analicemos términos por separado:
P2ρ2-P1ρ1 es el trabajo que el fluido hace sobre la partícula. Si vamos a su definición,P2ρ2-P1ρ1=12dPρ=121ρ·dP+P·d1ρ=121ρ·dP+12P·dv

u2-u1+g·z2-z1+V222-V122 es la ganancia neta de la energía intrínseca
q+weje+wτ es la energía neta transferida
Si atendemos a la definición del trabajo (por unidad de masa, en este caso) de los esfuerzos cortantes,
wτ=1δm·SCV·τ·ds=0

Reordenando:
q+weje=u2-u1+g·z2-z1+V222-V122+121ρ·dP+12P·dv
-u2-u1+12P·dv-q+weje=g·z2-z1+V222-V122+121ρ·dP

u2-u1+12P·dv-q=∆y representa lapérdida de potencial al realizar un trabajo útil.

weje-∆y-121ρ·dP=g·z2-z1+V222-V122
Al considerar el flujo incompresible (es decir, que la densidad es constante y sale fuera de la integral al operar), la ecuación se convierte en
V122+P1ρ+g·z1+weje=V222+P2ρ+g·z2+∆y

Para el problema que nos ocupa consideramos que el trabajo axial es nulo. Al dividir por la gravedad, se tiene la siguienteecuación:
V122·g+P1ρ·g+z1=V222·g+P2ρ·g+z2+∆h
V122·g+P1ρ·g+z1=E1; V222·g+P2ρ·g+z2=E2;

Para un conducto entre dos nudos genéricos i y j:
Ei=Ej+∆hi-j (I)

∆P2·g es la altura de presión.
V22·g es la altura de energía cinética.
∆z es la altura de energía potencial.
Para hallar el valor real de ∆h, deduciremos la ecuación de Darcy - Weisbach:
Supongamos una tubería por la que circula unfluido incompresible (de peso específico γ) y en ella el volumen entre dos secciones 1 y 2, que estarán separadas a una distancia genérica L. El conducto está inclinado un cierto ángulo respecto a la horizontal:

Las fuerzas que actúan sobre nuestro volumen de control son tres:
* El peso del fluido (P), aplicado en el centro de gravedad (G) de nuestro volumen de control, que es la...