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C O N I C A S
El primer matemático que inició el estudio de las cónicas fue Apolonio de Perga (262 - 190 a.C), que enseñó matemáticas en las universidades de Alejandría y Pérgamo. Su estudio lo plamó en su tratado “Cónicas”, que constaba de ocho ibros. Cuatro de ellos se conservan originales, otros tres gracias a la traducción al árabe llevcada a cabo por Thabit ibn Qurra, habiendo desaparecidoel octavo. En 1710, Edmund Halley, el astrónomo, publicó una traducción de los siete libros conocidos en latín.
La importancia de las cónicas radica en su aplicación al estudio del movimiento de los planetas, debido a que estos siguien órbitas elípticas, en uno de cuyos focos se encuentra el Sol, característica utilizada por Kepler en su estudio sobre los planetas y por Newton en Ley deGravitación Universal.
Otra aplicación de las cónicas es al estudio de los movimientos de los proyectiles, tiro horizontal y parabólico.
Asímismo se utilizan las propiedades de las cónicas para la construcción de antenas y radares, sabiendo que cualquier onda que incide sobre una superficie parabólica, se refleja pasando por el foco.
Se llaman secciones cónicas a las secciones producidas en unasuperficie cónica de revolución por un plano que no pase por el vértice.
Si el plano corta todas las generatrices, la sección producida se llama elipse.
Si además, el plano es perpendicular al eje del cono, la sección obtenida es una circunferencia.
Si el plano es paralelo a una sola generatriz, la curva obtenida ya no es cerrada, está en una de las hojas del cono, consta de una sola rama y sellama parábola.
Si el plano es paralelo a dos generatrices, entonces corta a las dos hojas del cono en una curva abierta formada por dos ramas separadas, llamada hipérbola.
Desde este punto de vista, pueden establecerse los elementos notables tales como: centro, ejes, focos, directrices,.... y estudiar las propiedades métricas. Sin embargo se va a partir en este libro de definiciones basadas enpropiedades métricas, y a partir de ahí se hallarán sus ecuaciones en un sistema cartesiano.
Recuerda que:
Distancia entre dos puntos A(a1,a2) y B(b1,b2) viene dada por:

Resuelve tu mismo
1.- Halla la distancia entre los puntos A(2, -1) y B(-1, 3).
R. 5.
2.- Halla la distancia entre los puntos A(3, -2) y B(0,1).
R.
.
C
r
Resuelve tu mismo
3.- Halla la ecuación de lacircunferencia que tiene su centro en el punto (0, 0) y radio 3.
R. x2+y2 = 9.
4.- Halla la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto (3, -2) y radio
.
R. x2+y2-6x+4y+11 = 0
LA CIRCUNFERENCIA:
Ecuación de la Circunferencia
Definición: Es el lugar geométrico de los puntos del plano, tales que su distancia a un punto fijo, llamado centro, es constante. A esta distancia se le denominaradio de la circunferencia.
Sea C (a, b) el centro de la circunferencia, r el radio y P(x,y) un punto de la misma.

, elevando al cuadrado los dos miembros de la ecuación obtenemos:

que es la ecuación de la circunferencia, conocidos su centro y radio.
Desarrollando la ecuación reducida: x2 - 2ax + a2 + y2 - 2by + b2 = r2, y pasando al primer término , obtenemos:
x2 + y2 - 2 ax - 2by +a2 + b2 - r2 = 0.
Si llamamos A = - 2 a ; B = - 2 b y C = a2 + b2 - r2, la ecuación de la circunferencia, en su forma general sería:

Ejemplo: Halla la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto (2, -1) y radio 3.
Escribimos la ecuación (x - 2)2 + (y + 1) 2 = 9
Desarrollando: x2 + y2 - 4x + 2y - 4 = 0
¿Es una circunferencia?
Para saber si una ecuación de la forma x2 +y2 +Ax + By + C = 0 corresponde a una circunferencia, calcularmos el valor del radio que sería: r2 = a2 + b2 - C, y siendo a = -A/2 y b = -B/2, tendríamos:
y operando y sacando fáctor común obtendríamos
.
Si evaluamos el signo de A2 + B2 - 4C,
podemos saber si la ecuación antes dada se corresponde o no con una circunferencia:

Recuerda que:
El centro y radio de la circunferencia...
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