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´ ´ Miscelanea Matematica 47 (2008) 11–22

SMM

Formas Aerodin´micas y la Raz´n a o ´ Aurea
J. Cruz Sampedro
CIMA de la UAEH.

sampedro@uaeh.edu.mx

L. E. Rivera Fern´ndez a
CIMAT.

laurae@cimat.mx

M. Tetlalmatzi Montiel
CIMA de la UAEH.

tmontiel@uaeh.edu.mx

1.

Introducci´n o

¿Se ha preguntado usted alguna vez, qu´ forma debe tener el frente e de un submarino, unabala o una nave espacial? A primera vista, teniendo en cuenta que esos objetos seguramente han sido dise˜ados para n desplazarse con facilidad, la intuici´n sugiere que deben ser puntiaguo dos, pero ¿son los proyectiles con frentes agudos los m´s aerodin´micos, a a es decir los que menos resistencia encuentran al moverse? En 1687, en su Philosophia Naturalis Principia Mathematica [7], Newton(1642-1727) analiza el movimiento rectil´ ıneo uniforme de una esfera y un cilindro del mismo radio en un medio homog´neo, en el que el e cilindro se mueve paralelamente a su eje, y encuentra que la resistencia de la esfera es la mitad de la resistencia del cilindro. En esa obra, en la Proposici´n XXXIV del Libro II: Del Movimiento de los Cuerpos, o Newton tambi´n plantea y resuelve el problema general deencontrar el e s´lido de revoluci´n que experimenta la menor resistencia al moverse o o con velocidad constante en un medio homog´neo. El estudio de este e problema, conocido en la literatura como El Problema de la Resistencia M´nima de Newton, o como El Problema Aerodin´mico de Newton, es ı a

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´ J. Cruz Sampedro, L. E. Rivera Fernandez...

importante en el dise˜o de naves, submarinosy torpedos y es un tema n activo y de gran inter´s en la investigaci´n matem´tica actual [1, 2, 3, 9]. e o a En las p´ginas siguientes consideramos El Problema Aerodin´mico a a de Newton Restringido a Conos Truncados y presentamos una soluci´n o accesible a lectores familiarizados con el manejo algebraico de desigualdades y con las leyes de la mec´nica de Newton. Nos parece pertinente a comentarque la soluci´n de este problema podr´ ser de especial inter´s o ıa e para estudiantes y profesores de los primeros semestres de ingenier´ o ıa ciencias exactas y, aunque el problema se ha simplificado enormemente debido a la restricci´n impuesta, su sencilla soluci´n est´ llena de agrao o a dables e inesperadas sorpresas. Una vez determinada las forma del cono m´s aerodin´mico, es natua a ralpreguntarse: ¿Hay un procedimiento geom´trico sencillo para conse truirlo? Nuestra respuesta a esta pregunta es afirmativa y el m´todo que proe ponemos para la construcci´n deseada est´ estrechamente relacionado o √ a con la Raz´n Aurea τ ≡ (1 + 5)/2. La presencia de este misterioso o ´ n´mero en el contexto de problemas aerodin´micos es un hecho que nos u a parece bastante sorprendente y, aunquematem´ticamente no es m´s a a que una modesta observaci´n geom´trica, hasta donde es de nuestro o e conocimiento, no se encuentra en la literatura. La raz´n aurea τ , tambi´n llamada “Proporci´n Divina” por Luo ´ e o ca Pacioli (1445-1517) y referida por Kepler (1571-1630) como “una de las dos joyas de la geometr´a”, es tal vez uno de los principales inı variantes que se manifiestan en la matem´tica de labiolog´ y el arte. a ıa Este n´mero, adem´s de poseer propiedades algebraicas y geom´tricas u a e extraordinarias, se ha descubierto en distintos patrones y espirales de una gran variedad de seres vivos y hay evidencias de que fue usado con fines est´ticos por Leonardo (1452-1519) y por los arquitectos g´ticos y e o griegos [4, 6, 8]. La relaci´n entre la raz´n aurea y el cono truncado de o o ´ m´ınima resistencia explica probablemente el agradable aspecto visual de este ultimo (Fig. 1). En conclusi´n: El cono truncado m´s aerodin´mico ´ o a a es, al mismo tiempo, el m´s est´tico. a e Es pertinente mencionar que la soluci´n general del Problema Aeroo din´mico de Newton queda fuera del alcance y prop´sito de esta monoa o graf´ pues requiere conocimientos del c´lculo de variaciones. Al...
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