Topologia 2

2Topología II. Lic en Matemáticas. Taller No. 2.
1. Demuestre, sea un espacio topológico (X; _ ). Son equivalentes los siguientes enunciados:
a. (X; _ ) es conexo.
b. Los únicos subconjuntos de(X; _ ) que son a la vez abiertos y cerrados son el conjunto vacío y el propio
X.
c. Toda aplicación continua de (X; _ ) en un espacio topológico discreto es constante.
d. No existen aplicacionescontinuas y sobreyectivas de (X; _ ) en f0; 1g.
2. Justi.que su respuesta
a. Sea A = (0; 1) es conexo pero su exterior no ¿por qué?
b. Si A es conexo, ¿lo es su adherencia?
c. El conjunto A es conexopero su frontera no es conexa ¿por qué?
d. Si el conjunto A no es conexo ¿lo será su adherencia?
e. Si el conjunto A no es conexo ¿lo será su exterior?
f. Si el conjunto A no es conexo ¿lo será sufrontera?
g. Un espacio topológico con la topología trivial es conexo ¿por qué?
h. ¿El conjunto de los números racionales Q con su topología usual, es conexo? ¿Por qué?
3. Intuitivamente unconjunto es conexo si no se puede separar en dos trozos (abiertos), y es conexo por
caminos si cada par de puntos se puede conectar por un camino (sorprendentemente ambas de.niciones
no son equivalentes).4. Sobre conjuntos conexos / compactos conteste falso (F) o verdadero (V) y justi.que.
(a) El intervalo (a; b) es conexo (pero no compacto) en R y en todo continuo lineal.
(b) El intervalo [a; b]es compacto en R y en todo espacio ordenado con la propiedad del supremo.
(c) Si un conjunto es conexo, su cierre también lo es.
(d) Si un conjunto es conexo por caminos, es conexo.
(e) El productode conexos/compactos es conexo/compacto.
(f) Un cerrado dentro de un compacto es compacto.
(g) En Rn un conjunto es compacto si y sólo si es cerrado y acotado.
(h) La imagen por una aplicacióncontinua de un conexo/compacto es conexo/compacto.
(i) Compacto en un espacio Hausdor¤ implica cerrado.
(j) (Teorema de los Valores Intermedios) Si una función de.nida de un espacio conexo en otro...