torcion en barras circulares

Torsión de Barras Circulares.

Introducción
Este capítulo está dedicado al estudio de las tensiones y deformaciones tangenciales en
la sección transversal de un elemento (miembro) debido a la acción de un momento de
torsión (momento en torno al eje longitudinal del elemento). Este estudio estará
restringido a secciones circulares macizas y huecas.

Hipótesis Básicas para MiembrosCirculares
Considerar miembros de sección transversal circular maciza o tubular.
Una sección circular plana, perpendicular al eje del miembro, permanece plana
después de aplicada la torsión. En otras palabras, no tiene lugar el alabeo o
distorsión de planas normales al eje del miembro.
En un miembro de sección circular sometido a torsión, las deformaciones
unitarias de corte γ varían linealmentedesde el eje central, alcanzando su

máximo valor γmax en la periferia de la sección (Fig. 1).

Se considera un material homogéneo y linealmente elástico.

Deformación de un miembro circular sometido a torsión.
Considerar la rotación relativa de dos secciones circulares maciza adyacentes de radio c
de un elemento de longitud L, tal como lo muestra la Fig. 1.

x
r=c
x+∆x
x

∆x

γmax =γ(c)

Fig. 1. Rotación relativa de dos secciones circulares adyacentes debido a torsión

1

De la geometría de la Fig. 1 se obtiene la siguiente relación

dφ
 r∆φ 
γ = lim 
=r
∆x → 0 ∆x
dx



(1)

La expresión anterior, debido a la hipótesis de la geometría de deformación, es válida
para cualquier valor de r tal que r ≤ c. Además, de la geometría de deformaciónpresentada en la Fig. 1, se tiene que un plano paralelo al eje longitudinal x rota en forma
relativa en un ángulo γ debido al ángulo ∆φ. Por lo tanto, si el plano tenía forma de
rectángulo, luego de la rotación relativa ∆φ de la sección transversal tiene forma de
rombo.
Si la expresión de la Ec. (1) se discretiza, para pequeños valores de la deformación γ se
cumple
γ =r

∆φ
∆x

(2)

donde ∆φy γ están expresados en radianes.
De la Ec. (2) se puede concluir lo siguiente:
La deformación de corte γ es proporcional al ángulo ∆φ

La deformación de corte γ es proporcional a la distancia r medida desde el eje
del elemento circular hasta el punto en consideración.
La deformación de corte γ varía linealmente con la distancia medida desde el
eje del elemento circular
La deformación decorte γ máxima se da en la superficie del elemento (r = c)
γ max = c

∆φ
∆x

(3a)

r
γ = γ max
c

(3b)

2

Tensiones debido a la Torsión en el Rango Elástico.
Considerar la ley de Hooke para la tensión de corte τ

τ = Gγ

(4)

donde G es el módulo de rigidez o módulo de corte del material. Utilizando las Ecs. (3)
y (4), se obtiene

r
τ = τ max
c

(5)

lo que indicaque la tensión de corte τ varía linealmente con la distancia r medida desde
el eje longitudinal del elemento circular. Para el caso de una sección anular, se cumple
la siguiente relación (Fig. 2)

τ min =

c1
τ max
c2

(6)

(a)

(b)

y

τmax

Mt

z

z

c

τmin

c1

c2

Fig. 2. (a) Distribución de tensiones tangenciales debido a la torsión en una
sección maciza y(b) en una sección anular

3

Momento de Torsión Interno: Mt

y
τxy

z

τ
τxz
r

y

Mt

z

Fig. 3. Equilibrio en la sección transversal debido a un momento de torsión

Considerar las tensiones que actúan en la sección transversal mostrada en la Fig. 3. Por
equilibrio, se deben cumplir las siguientes relaciones

∫τ

∫τ

xz

dA = 0

(7a)

xy

dA = 0

(7b)A

M t = ∫ (τ xz y + τ xy z )dA
A

(7c)

M t = ∫ rτdA
A

(7d)

A

r
 τ
M t = ∫ r  τ max dA  = max ∫ r 2dA
c
c A

A 
Mt =

(7e)

τ max
J
c

(7f)

donde J es el momento polar de inercia con respecto a O (Fig. 2a). Utilizando Ecs. (5) y
(7f), se obtiene
τ (r ) =

r
Mt
J

(8)

Las Ecs. (7) y (8) se conocen como las fórmulas de la torsión elástica....