Torsión

Torsión
Mecánica de Materiales
Ing. Javier D. Moreno Sánchez

Deformaciones en un eje circular
Un momento de torsión es aquel que tiende a hacer girar un
miembro respecto a su eje longitudinal.

Su efecto es de interés primordial en el diseño de vigas de borde,
ya sea de concreto armado y de acero

Barra
circular
sometida a
torsión por
los
momentos
T1 y T2

Se puede ilustrarqué ocurre físicamente cuando un momento de
torsión se aplica a un eje circular hecho de un material muy elástico, como el
hule, por ejemplo.

Cuando se aplica el momento torsor, las secciones circulares se
mantienen como tales, experimentando una rotación en el plano del
momento. Las líneas longitudinales se convierten en hélices que intersectan
siempre con el mismo ángulo a los círculostransversales.

Extraeremos
a continuación una
porción cilíndrica y
consideraremos un pequeño elemento cuadrado que se encuentre en la
superficie de dicha porción. Luego de aplicar el momento torsor, el elemento
diferencial considerado deja de ser cuadrado y se convierte en un rombo, tal
como se muestra.

Observemos la figura. Si el ángulo g es muy pequeño, se puede
establecer:Donde AA’ es el arco que
recorre el punto A al deformarse la barra
debido a torsión, θ es el ángulo de
giro (en radianes) entre dos secciones
transversales separadas una longitud L, ρ
es el radio de la porción cilíndrica
considerada y g es la deformación
cortante, en radianes.

Ley de Hooke para Torsión
De forma similar al caso de esfuerzos normales, existe también una
relaciónproporcional entre las deformaciones cortantes que ocurren en el
rango elástico y los esfuerzos cortantes relativos a dichas deformaciones.
De forma matemática, podemos expresar dicha relación como
sigue:

t  G g

Donde “t” es el esfuerzo cortante, “g” es la deformación cortante y
“G” es el módulo de rigidez, que se puede relacionar con el modulo de
elasticidad (“E”) de la siguiente forma:

EG
2(1   )
Siendo “n” el módulo de Poisson.

Esfuerzos cortantes en barras circulares
debido a torsión
Para realizar la deducción de una expresión que nos permita hallar
la distribución de esfuerzos cortantes en una sección transversal debido a
un momento torsor aplicado en ella, asumiremos lo siguiente:
- Las secciones circulares permanecen como tales.
- Las secciones transversalesse mantienen planas, sin alabearse.
- Las líneas radiales permanecen rectas aún después de la deformación.
- El eje está sometido a la acción de pares torsores.
- Las deformaciones producidas ocurren en el rango elástico del material.

Si recordamos
anteriormente:

la

relación

de

deformación

establecida

q r g L
Notaremos que para una deformación dada, los valores de “q”y “L”
se mantienen constantes, de forma que “g” varía linealmente con “r”.
Podemos establecer entonces el valor máximo de la deformación “g” :

q  r  g max  L
Luego:

g max

q

g
 
r
L r

Y, finalmente:

g  g max 

r
r

Recordando que la deformación se realiza en el rango elástico del
material, podemos aplicar la ley de Hooke sobre la expresión y nos queda:

t  tmax 

r
r

Aplicar la primera condición de equilibrio nos aportará una
información que ya conocemos: la variación del esfuerzo cortante es lineal
respecto al radio de la sección. Estudiaremos entonces que sucede con la
segunda condición de equilibrio:

r

T   r  t max    dA
r

Sacando de la integral los términos constantes, nos queda:

T

t max
r

r 2  dA
Donde la integral resultante es una propiedad de área conocida
como momento polar de inercia (“J”). Podemos rescribir entonces la
expresión de la forma:

T

t max
r

J

Recordando que anteriormente se estableció que:

r

r



t max
t

Sustituimos esto en la expresión anterior y nos queda:

t
T  J
r

D 4
J
32

Finalmente, obtenemos lo siguiente:

T r...