Trabajo de mate

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ESPACIO VECTORIAL O LINEAL:

Es aquel conjunto que cumple las propiedades o axiomas de la suma de vectores y la multiplicación por un escalar.
Un espacio vectorial es un espacio no vació. Podríamos decir que un espacio vectorial es la abstracción de las propiedades de un espacio n adimensional.

NOTACION:
K- Cuerpo de escalares
a,b,cik- los elementos de K
V-espacio vectorial dado
u,v,w-los elementos de V

Sea K un cuerpo dado y V un conjunto no vacio, con reglas de suma y producto x es un escalar que asignan a cada par uvEV. V recibe el nombre de espacio vectorial sobre si se satisfacen los siguientes axiomas.

[A1] Para todo elemento de vectores u,v,w EV, (a+b)+w-u(v+ww)
[A2] existe un vector en V denotado x 0 y denominado vector cero, tal que u+0 =u para todo vector aEV.[A3] Para todo vector uev existe un unico vector V denotado x-u, tal que u+(-u)=0.
[A4] para todo par de vectores u,v EV, u+v=v+u
[M1]Para todo escalar kEK y todo par de vectores u,vEV, k(u+v)u=ku+kv.
[M2] Para todo par de escalares a,bEK y todo vector uEV,(a+b)u=au+bu.

PROPIEDADES ELEMENTALES DE UN ESPACIO VECTORIAL:
Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo k.
i) para todoescalar Kek Y 0EV,Kk0= 0
ii) para 0EK y todo vector uEV, 0u= 0
iii) Si Ku=0, donde kEK y u EV, entonces k=0 o u=0
iv) Para todo k EK y todo u EV, (-k)u =K(-u)=Ku

EJEMPLOS:

1) Sea K un cuerpo arbitrario. La notacion Kˆn se usa frecuentemente para designar el conjunto de dotos los elementos de K. Kˆn se ve como un espacio vectorial sobre K en el que la suma vectorial y el productox un escalar se define según:

(a1.,a2…..an) + (b1.,b2,….bn)= (a1+b1,a2+b2,…an+bn)
k(a1,a2,…an) = (ka1, , ka2, …, kan)

2) considere el objeto V de todos los elementos ordenados de numeros. Reales de la forma (x,y,0). Defina las operaciones suma y producto.

(x,y,0) (x,y,0) + (x,y,0) = (x+x, y+y, + o) –→ SUMA

c(x,y,0) –→ (cx, cy, 0) –→ PRODUCTO

CUERPOS YSUBCUERPOS:

Supongamos que E es un cuerpo que contiene un subcuerpo K. E puede verse como un espacio vectorial, la suma usual en E y como producto kv del escalar kEK por el vector v eE el producto kv como elementos del cuerpo E, en tal caso E es un espacio vectorial sobre K esto es EK satisfacen los ocho axiomas de espacio vectorial precedentes.

SUBESPACIOS:
Sea W un subconjuntos de unespacio vectorial V sobre un cuerpo K.W se denomina un subespacio de V si es a su vez un espacio vectorial sobre K con respecto a las operaciones de V, suma vectorial y producto x un escalar.

TEOREMA:
Supongamos que W es un subconjunto de un espacio vectorial V. entonces W es un subespacio de V si y solo si se cumple el siguiente teorema.

i) 0EV

PROPIEDADES DE LOS VECTORES:Sea una transformación lineal. Se define el Kernel o Núcleo de la transformación lineal , denotado por al conjunto de las preimágenes del vector nulo, es decir

APLICACIONES

Ejemplo: Hallar el conjunto de las preimágenes del vector nulo para la transformación lineal

Solución: Necesitamos determinar los vectores de tales que

Evaluando

Es decir,

Luego, utilizando la matriz asociada alsistema, obtenemos

Por lo tanto,

Con lo cual,

(x;y;z) = (0;-(1/3) z;z) = z(0;-(1/3);1)

Así el conjunto de las preimágenes del vector nulo es el subespacio

COMBINACIONES LINEALES:

Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y v1,v2,…Vm EV cualquier vector en V de la forma a1v1+ a2v2 + … amvm donde los ai EK, recibe el nombre de combinxcion lineal v1, v2 ,…vm. El conjunto detodas las combinaciones lineales semejantes denotada x lin(v1, v2 ,…vm) se denomina envolvente lineal de v1, v2 ,…vm.
En general para cualquier subconjunto S de V lin S={0} si S es un conjunto vacio y lin S consiste en todas las combinaciones lineales de ventores de S.

TEOREMA:
Sea S un subconjunto d un espacio vectorial V.
i) entonces lin S es un subespacio de V que contiene a S....
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