Trabajo de matematicas. vectores

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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ



Ciudad Guayana 18/06/10

1. Exploraremos una curva paramétrica bidimensional inusual que se conoce como ESPIRAL DE CORNU. Defina la función con valores vectoriales
rt=0tcosπu22 du,0tsen πu22du Use un dispositivo graficador para dibujar lagráfica r(t) para -π≤t≤π. Calcule la longitud del arco de la curva desde t=0 hasta t=c, calcule la curvatura en t=c ¿Qué propiedad notable encuentra?

Utilizando Matlab obtenemos:

Graf.1.1 rt=0tcosπu22 du,0tsen πu22du

Los comando con que fue graficada:
>> clear all;
>> echo on;
>> n=500;
>> x=zeros(1,n);
>> y=x;
>> t= linspace(0,2*pi,n);
>>for i=1:n-1
x(i)= quadl(inline('cos(x.^2)'),t(i),t(i+1),1e-6);
y(i)= quadl(inline('sin(x.^2)'),t(i),t(i+1),1e-6);
end
>> x=cumsum(x);
>> y=cumsum(y);
>> plot([-x(end:-1:1) 0 x],[-y(end:-1:1) 0 y])
>> grid;
>> axis equal
Calculando la longitud de arco:

rt=0tcosπu22 du,0tsen πu22du

De acuerdo con el segundo teorema fundamental del cálculo:

*0tcosπu22du= ddt0tcosπu22du
=cosπt22
.
* 0tsenπu22du= ddt0tsenπu22du

=senπt22
* r ̕t=cosπt22i , senπt22j
* r ̕t= cos2πt22+sen2πt22 1=1
* λ= 0c1dt para 0≤t≤c
* λ=c longitud dearco

Calculando la curvatura en t=c :
k= T ̕tvt
* Tt=vtvt= cosπt22 i , sen πt22 j1
* Tt=cosπt22 i, senπt22 j

* T ̕t= OBTENEMOS T´t
* cosπt22=senπt22∙πt
* senπt22=cosπt22∙πt
* T´t= -senπt22∙πt i, cosπt22∙πt j

Aplicando la ecuación de la curvatura para un vector:
* k= sen2πt22∙π2t2 +cos2πt22∙π2t21
* k=π2t2sen2πt22+cos2πt22 saco factor común π2t2
* k= π2t2 πt
Sustituyo t=c
* k=πc curvatura constante
La espiral de Cornu la descubrió James Bernoulli. Bernoulli encontró que la espiral tiene una relación interesante entre curvatura y longitud de arco, la cual es: k=πc. La curvatura de la función es constante, por tanto se puede decir que es una circunferencia.

2. Hallar lalongitud del arco de la curva descrita por r(t)=(t,t2 +1) para t ∈ [0,3]
Obtenemos la primera derivada de rt y su modulo para encontrar la longitud de arco:
* r’t=1+2t
* r’t=12+4t2
Longitud de arco:
* 031+4t2 dt* 034122+t2 dt
* 203122+t2 dt
* 2t2122+t2+12Lnt+122+t2 para 0≤t≤3
* 232122+9+12Ln3+122+9-212Ln12
*=11,58
La curva que representa la función r(t)=(t,t2 +1) para t ∈ [0,3] es:

Nota: la curva que este describe es el arco de la parábola y=x2+1 en 0≤x≥3 cuyo aspecto tiene cierto parecido con el arco de la cartesiana y=cosh x en 0≤x≥3, es obvio el parecido geométrico de estas dos curvas.
Curvas descritas por dichas funciones son:
y= x2+1 en 0≤x≥3
y=cosh x en 0≤x≥3
Apreciandola curva que describen estas tres graficas podemos observar que aunque sus funciones sean distintas, entre ellas se aprecia un gran parecido geométrico.
3. Usted debe recordar que una función escalar tiene una discontinuidad o “esquina aguda” o punta en lugares en donde la derivada no existe. En este ejercicio, observaremos la suavidad análoga de las graficas de funciones con valores...
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