trabajo vectorial

Unidad 4 Espacios Vectoriales
4.1 Definición de espacio vectorial
Un espacio vectorial V sobre un cuerpo K es un conjunto que incluye dos operaciones: suma entre elementos de V y producto de elementos de K por elementos de V y cuyo resultado es otro elemento de V. A los elementos de V los denominamos vectores y los elementos de K, escalares.
Ejemplo Podemos tomar V como el conjunto de lospolinomios, y K el de los números reales. Así, tendríamos la suma de polinomios, elementos de V; y el producto de un número real por un polinomio, cuyo resultado es otro polinomio.
Sin embargo es necesario que se cumplan una serie de propiedades para ambas operaciones.
1. Para la suma de elementos de V,y dados u, v, w elementos de V :
1. la operación es interna, es decir, u+v pertenece a V
2. lasuma es asociativa, así, u+(v+w)=(u+v)+w
3. existe elemento neutro para la operación suma, es decir, un elemento 0 deV tal que u+0=0+u=u
4. existe elemento opuesto, esto es, para todo u, existe otro elemento -u tal que u+(-u)=0
5. la operación es conmutativa, y así u+v=v+u
En realidad esta operación dota a V de estructura de grupo beliano.

Ejercicio 1
Dado el espacio vectorial R2, unabase del mismo (e1, e2) y la de su dual (e∗1,e∗2), se introduce un cambio de base en la siguiente forma:



Obtener la base dual de (v, w) en función de la (e∗1,e∗2).





Respuesta
Para obtener una base dual de la dada tenemos:




Ejercicio 2

Siendo x = (x1, x2) un vector cualquiera de R2, en dicho espacio vectorial se definen las aplicaciones lineales:Estudiar si forman una base del dual de R2 y hallar la base de R2 de la que son dual.

Respuesta

Para saber si las aplicaciones dadas forman una base del dual de R2, comprobamos que son linealmente independientes. Tenemos

) = 0

Reagrupando términos tenemos:


Y a partir de ahí, α=0; β=0. Para obtener la base de R2 de la que son dual hacemos como en elejercicio anterior








Ejercicio 3

Sea la aplicación t : t : R3 → R2 definida en bases canónicas por :

núcleo (t) ≡ x1 + x2 = 0 ; t (1,0,1) = (1,1)
Obtener la matriz de la aplicación t en bases canónicas.
Respuesta
Observamos, en primer lugar que el núcleo de t ha de tener dimensión 2 puesto que viene dado por una sola ecuación y se ha de cumplir la relación:


Y la matriz de laaplicación en las bases canonicas será






















4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades

DEFINICION DE SUB ESPACIO VECTORIAL
Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un subespacio de V.
Existen múltiples ejemplos de sub espacio, sin embargo, en primer lugar, se demostrará un resultado que hace relativamente sencillo determinar si un subconjunto de V es en realidad sub espacio de V
Teorema de sub espacio
Un subconjunto no vacio de H de un espacio vectorial V es un sub espacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura:
Reglas de cerradura para ver si unsubconjunto no vació es un sub espacio
i)                  Si x € H y y € H, entonces x + y €H.
ii)               Si x € H, entonces αx € H para todo escalar α.
Es obvio que si H es un espacio vectorial, entonces las dos reglas de cerradura se deberán cumplir. De lo contrario, para demostrar que es un espacio vectorial, se deberá demostrar que los axiomas i) a x) de la definición cumplen bajo lasoperaciones de suma de vectores y multiplicación por un escalar definidas en V. Las dos operaciones de cerradura [axiomas i) y iv)] se cumplen por hipótesis, como los vectores en H son también vectores en V, las identidades asociativa, conmutativa, distributiva y multiplicativa [axiomas ii), v), vii), viii),ix) y x)] se cumplen.
Este teorema demuestra que para probar si H es o no es un sub espacio de...