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- Resumen Integrales Indefinidas - Técnicas de integración:
1. Integrales Inmediatas: Contemplando la derivación como un proceso inverso de la integración se puede obtener la siguiente tabla de integrales inmediatas. x n +1 n ∫ k dx = kx + c,∀k ∈ R ∫ x dx = n + 1 + c,n ≠ −1 1 x x ∫ x dx = log x + c ∫ e dx = e + c ax a x dx = + c,a > 1 ∫ ∫ Cosx dx = Senx + c log a

∫ Senx dx = −Cosx + c ∫ Sec ∫2

∫ Secxtgx dx = Secx + c ∫ Co sec ∫1 + x ∫
dx
2 2

x dx =

∫ Cos

1

2

x

dx =tgx + c

x dx = ∫

1 dx = −Cotgx + c Sen 2 x

∫ Co sec xCotgx dx = −Co sec x + c
dx = arcsenx + c

= arctgx + c

dx = −arcsenx + c = arccos x + c 1 − x2 1 − x2 Una integral inmediata si la reconocemos como derivada de alguna función, por tanto el concepto de integral inmediata es relativo.2. Cambio de variable: Sea g una función con derivada g ′ continua, y sea f una función continua. Entonces,  g ( x) = t haciendo  se tiene: ∫ f ( g ( x)) g ′( x ) dx = ∫ f (t) dt .  g ′( x ) dx = dt Problemas propuestos para su resolución.

−1

∫e

x +e x

dx

∫ ∫
dx

Cos x dx x

∫ tg ∫
3. Integración por partes:

2

x dx dx

( 2 − x)
x
2

2

dx

20 + 8x − x 2∫ 2x

dx + 2x + 5

Dadas dos funciones derivables u y v se verifica: ∫ u dv = uv − ∫ v du .
Ingeniería Técnica: Telemática-Química-Mecánica-Eléctrica-Minas-Recursos.
www. Khaderce.com khaderce@ khaderce.com C/Sánchez Ramade 3, -Tlfno. y Fax 953 601 349-Linares (Jaén) Nuestra línea es la de siempre...

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El objetivo de la técnica de integración por partes es el reducir la integral iniciala otra más sencilla; por ello intentamos tomar como u una función con derivada lo más simple posible y de modo que sepamos obtener primitiva para dv . Problemas propuestos para su resolución.

∫e ∫

x

dx

∫e

2x

Cos 2 x dx

log x dx x

∫ arcsen x dx
3

∫ Sen( log x ) dx ∫ x
4. Integrales de funciones racionales: Son de la forma:

x 2 + a 2 dx , a ≠ 0

 Si P( x) es unpolinomio de grado ≥ Q( x) . Hacemos la división de P entre Q .  Si P( x) es un polinomio de grado < Q( x) . Hacemos Q ( x) = 0 , determinamos sus raíces, que pueden ser : • Raíces reales simples y distintas. x = a simple. • Raíces reales múltiples. x = a repetida n veces, n ≥ 2 . • Raíces imaginarias simples y distintas. x = a ± bi simple. • Raíces imaginarias múltiples. x = a ± bi repetida nveces, n ≥ 2 . y descomponemos en fracciones simples, así: A • , proporciona logaritmos neperianos. x−a A1 A2 An + • , proporciona un 2 +...+ x − a ( x − a) ( x − a) n logaritmo neperiano y n − 1 potencia. Mx + N • , proporciona un logaritmo neperiano y ( x − a) 2 + b 2 un arcotangente. • Método de Hermite. Ejemplo de descomposición por Hermite:

∫ Q( x ) dx . Siendo

P( x )

P y Q polinomios enx .

∫ x ( x + 1) ( x
2

x4 − x3 + 5
2

+ 9)

2

B Mx + N  d ax 2 + bx + c A dx = ∫  + +  dx + dx =  x x +1 x2 + 9  dx ∫ ( x + 1) ( x 2 + 9) M N x ax + bx + c log( x 2 + 9) + arctg + +k 2 3 3 ( x + 1) ( x 2 + 9)
2

A log x + B log x + 1 +

Ingeniería Técnica: Telemática-Química-Mecánica-Eléctrica-Minas-Recursos.
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Nuestra línea es la de siempre...

Problemas propuestos para su resolución. x4 ∫ ( 1 − x) 3 dx dx ∫ x3 −1 5. Integrales de funciones reducibles a racionales: 5.1. Integrales de funciones R( f ( x ) ) con R una función racional y f una función cuya inversa tiene derivada racional. e x  log x  f ( x) = tg x arcsen x   etc ... Para este tipode funciones, el cambio de variable f ( x) = t transforma la integral en racional. Problemas propuestos para su resolución. dx +1 x arctg ∫ 4 + x 2 dx 2 5.2. Integrales de funciones trigonométricas. x 2 − 3x + 5 ∫ ( x 2 + 1) ( x − 1) dx dx

∫ (x

2

+ 1)

2

∫e

x

∫ x ( 1 + log x )
2

dx



ex +1 dx e x − 4 + 4e − x

Las integrales del tipo

∫ R( sen x, cos x) dx...
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