Trabajo

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FUNCIONES VALORADAS (1)
por
VICENTE FRAILE OVEJERO

La función Y(x) de Heaviside vale 1 cuando es x > Oy -1 si es x < O. No está definida en x = O. Evidentemen te podemos escribir
Y(x)=-

Ixl
x

Si decimos simplemente que la función de Heaviside es
[z]

x
nos ahorramos la anterior definición descriptiva, puesto que el comportamiento de la fracción

x

es,precisamente, el de la función de Heaviside. Pero, además, como veremos a continuación, la introducción del valor absoluto es muy útil, porque los símbolos 1/(x)1 y

1/(x)1
/(x)

con su contenido conceptual correspondiente, se someten sin dificultad a las leyes formales del cálculo diferencial e integral, y permiten resolver con suma sencillez problemas a los cuales suele aplicarse los métodosdistributivos de Laurent Schwartz. Que nosotros sepamos, la incorporación de las funciones valoradas If(x)\ y las de la forma

1/(x)1
/Ix)

- 49:a' los métodos clásicos de cálculo es debida al español" Arttrro Fraile Ovejero, fallecido a los 27 años en 1943, el cual publicó varios trabajos sobre esta cuestión en la Revista Matemática Hispano-Americana, Reuisia de la Unión Matemática Argentina,Buclides y Las Ciencias, entre los años 1941 y 1943.
1.
LA FUNCIÓN GENERALIZADORA DE HEAvrSIDE

Si f(x) es continua en 1 e R, con ceros en 1 en número finito. es claro que la función
!f(x) I S(x) = - f(x)

~~

.,

vale 1 cuando f(x) > O en 1. y -1 si es f(x) < O en I.En los ceros de f('X) no está definida. Por todo ello es apropiado decir que S(x) es una función de Heavisíde generalizada.Evidentemente, la derivada de S(x) es nula para todo x E 1 que no sea un cero de f(x). En los ceros de f(x) no está definida la derivada S'(x); pero si X o es un cero de f(x), se verifica:
. S'(x o +)

= S'(x o - ) = O

Luego en x = X o podemos atribuir a S'(x) el valor cero, con lo cual la función S(x) tiene derivada nula V x E 1. Así, pues: Las funciones de Heauiside se comportan comoconstantes en el cálculo diferencial e integral, y podemos escribir, por .ejemplo:
fS(x) ep(x) do: = S(x)

J ep(x) dx

También podemos sustrtuir Ja constante arbitraria de una integración por una función arbitraria S(x), o por una combinación lineal de funciones S. Por ejemplo, si 0 en (Xk, Xk+l) y negativa en 10$ eubintervalos contiguos. La función
1((x)1
S(x) = - ((x)

vale 1 en el abierto(Xlt, Xk+ 1), y los limites S(Xk +), S(Xlt+ 1 - ) existen y son también iguales a la unidad. En vista de ello, vamos a convenir en que la función S(x) vale 1 en el intervalo cerrado [S k, ¡I;k+ 1)'

- 53De un modo general: Para cada abierto (.Vk, X/'+l), cuyos extremos son dos ceros consecutivo'! de ¡(x) en E, convenimos en hacer S(Xk) = S(Xk +), S(Xk+l) = S(Xk+l -l. Estos dos limites laterales deS(x) en los extremos de un abierto entre ceros (Xk, Xk+l) fueron llamados por Arturo Fraile valores virtuales de S(x), y aparecen siempre asociados a un snbintervrdc abierto entre dos ceros consecutivos de ¡(x) en E. Este hecho de que los valores virtuales vayan siempre asociados a los abiertos entre dos ceros consecutivos, permite sustituir un abierto (Xk, Xk-h) por el cerrado correspondiente,con lo cual S(x) está circunsiancialmente definida V x E [Xk, Xk+l], sin que por ello desaparezca el carácter indeterminado de S(x) en cada cero de f(x) considerado leeal y aisladamente. Este convenio refuerza, además, el carácter idénticamente nulo de la derivada de S(x) V x E E. No'> va a permitir también In integración entre a y b de una función valorada 1¡(x)l, cuando ¡(x) posee un número finitode ceros en Ca, b]. Va a hacer factible, asimismo, la formulación de ciertas funciones; por ejemplo, la función característica cp(x) de un E e R, abierto o cerrado, utilizando funciones S.
3.
LA INTEGHAL DEFINIDA DE

lt(x)l.

Sea !(x) integrable [RJ en Ca, b], y supongamos que ¡(x) posee en dicho intervalo un número finito de ceros, de los cuales son Xk, Xk+ 1 dos consecutivos. Si...