Trabajo

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1. Cálculo de la ecuación de la recta tangente a f(x)=x3+1 en xo=0.5.
Derivamos la función f '(x)=3x2.
1. Evaluamos la derivada en 0,5,  f '(0.5)= mt=0.75.
2. Calculamos la ordenada de xo=0.5 que es yo=f(xo)=1.13. El punto de tangencia es (0.5, 1.13).
3. Calculamos la ecuación: y - 1.13 = 0.75(x - 0.5)
4. y - 1.13 = 0.75x - 0.375
5. 0.75x - 0.375 - y + 1.13 = 0
6. 0.75x- y + 0.755 = 0
7. Escribimos la ecuación de la recta tangente: y = 0,75 x + 0,755
2. Cálculo de la ecuación de la recta tangente a la siguiente curva en el punto de abscisa cero.
1. La derivada
2. Se observa que el dominio de la función es D=R, pero que la primera derivada no está definida en cero.
3. Analizando la derivada cuando x tiende a 0 por laizquierda y derecha se sabe que y' es más infinito en ambos casos, entonces la ecuación de la recta tangente es vertical y su ecuación: x=0
3. Cálculo de la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x2 + y2 = 5 en xo= -2. Nota: Tomar el valor positivo de y.
1. La derivada es y' = -(x/y) (Obtenerla derivando la función implícitamente).
2. La ordenada para xo= - 2, (-2)2 + y2 = 5,4 + y2 = 5, y2 = 5 - 4, , y = ± 1 es yo= 1, tomando el valor positivo.
3. La derivada evaluada en (-2, 1), mt = -(-2/1) es mt= 2.
4. y - 1 = 2(x +2)
5. y - 1 = 2x + 4
6. 2x + 4 -y + 1 = 0
7. 2x - y + 5 = 0
4. Cálculo de la ecuación de la recta normal a y=x3+1 en xo=0,5.
1. Derivamos la función,  y'=3x2.
2. Evaluamos la derivada en y'(0.5) = mt = 0.75.
3.Calculamos la pendiente de la recta normal mn= - 1.33.
4. Calculamos la ordenada de xo=0.5 que es yo=1.125. El punto es (0.5, 1.125).
5. Calculamos la ecuación y - 1.125 = -1.33(x - 0.5).
6. y - 1.125 = -1.33x + 0.665
7. 1.33x + y -1.125 - 0.665 = 0
8. 1.33x + y - 1.79 = 0
9. Escribimos la ecuación de la recta normal:
yn = -1.33 x +1.79
5. Cálculo de la ecuación de larecta normal a la siguiente curva en el punto de abscisa cero.

1. La derivada
2. La ecuación de la recta tangente es x=0 (recta vertical
3. La ecuación de la recta normal es y=f(xo), es decir
y=0
6. Cálculo de la ecuación de la recta normal a la circunferencia xo= -2 y con pendiente positiva.
x2 + y2 = 5
1. La derivada es y' = -(x/y) (se obtiene derivando la función implícita).2. La ordenada para xo= -2 es yo= -1.
3. La derivada evaluada en (-2,-1) es mt= - 2.
4. La pendiente de la recta normal, mt = 0.5.
5. La ordenada en el origen de la recta normal b=0.
6. La ecuación de la recta normal:
y= 0.5x
Puntos críticos
Si x = -3
f(-3) = (-3)3+3(-3)2–9(-3)+3
=-27+27+27+3=30 (-3, 30)
Si x= 1
f(1) = (1)3 + 3(1)2 –9(1) + 3 = 1 + 3 –9 +3 =-2
(1, -2)
OBSERVACIÓN: Al sustituir los números críticos en la función se obtuvo una imagen mayor que corresponde al máximo relativo, y la imagen menor es el mínimo relativo. Por lo tanto:
Máximo relativo = 30 para x = -3
Mínimo relativo = -2 para x = 1
Números Críticosf(x) = x3 + 3x2 –9x + 3
f'(x) = 3x2 + 6x –9
f'(x) = 0
3x2 + 6x –9 = 0
x2 + 2x – 3 = 0
(x + 3) (x –1) = 0
x+3=0, x - 1 =0
x = -3, x = 1
x + 3 = 0 x – 1 = 0
x = -3 x = 1

Ejemplo 1.- Cuales son los númeroscríticos de la función f (x) = x3 + 3x2 –9x + 3 y cuales son sus puntos críticos.

EJEMPLOS: Calcular el valor de x0 enunciado en el Teorema de Rolle para las siguientes funciones en el intervalo indicado.
1. f(x) = x3 - 12x en el intervalo [0, 2√3].
f(0) = 0
f(2√3) = (2√3)3 - 12(2√3) = 8(3)√3 - 24√3 = 24√3 - 24√3 = 0
Se observa que f(0) = f(2√3) = 0. Si f'(x) = 0, 3x2 - 12 = 0,...
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