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Lecci´n 5 o T´cnicas cualitativas para las Ecuaciones e diferenciales de primer orden: Campos de pendientes y l´ ıneas de fase

1

Campos de pendientes
x(t) soluci´n de x = f (t, x) o pendiente de la recta tangente a la gr´fica de x = x(t) en el punto a (t0 , x0 ), es f (t0 , x0 ). Campo de pendientes de la ecuaci´n: Gr´fica que se obtiene al dio a bujar en numerosos puntos (ti , xi ) laspendientes dadas por f (ti , xi ).

Ejemplo
x =x −t
−1.5 −1 −0.5

1.5

1

2

0.5

0.5

1

1.5

−0.5

(t, x) (−1, 1) (−1, 0) (−1, −1)

f (t, x) 2 1 2

(t, x) (0, 1) (0, 0) (0, −1)

f (t, x) 1 0 1

(t, x) (1, 1) (1, 0) (1, −1)
2

f (t, x) 0 −1 0

−1

−1.5

Campos de pendientes generados por ordenador
Un ordenador puede producir un campo con multitud de pendientesen un instante:
4 3 2 1

incluyendo algunas curvas:
4 3 2 1

x

x

−4

−3

−2

−1 −1 −2 −3 −4

1

2

3

4

t

−4

−3

−2

−1 −1 −2 −3 −4

1

2

3

4

t

Campo de pendientes de la ecuaci´n x = x 2 − t generado o por ordenador.

Algunas curvas soluci´n de o x = x 2 − t producidas mediante aproximaci´n o num´rica por un ordenador. ehttp://math.rice.edu/∼dfield/dfpp.html
3

Campos de pendientes de ecuaciones aut´nomas o
Ecuaci´n aut´noma: x (t) = f (x) o o x = 4x(1 − x) Dos soluciones de equilibrio: x = 0 y x = 1. x > 0 para 0 < x < 1 y x < 0 si x > 1 o x < 0.
3 2 2.5 2 1.5 1 1 0.5 1.5

0.5

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 −0.5

0.2

0.4

0.6

0.8

1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 −0.5 −1

0.2

0.4

0.60.8

1

−1

−1.5 −2

−1.5

−2

Algunas gr´ficas de las soluciones a de la ecuaci´n x = 4x(1 − x) o superpuestas sobre su campo de pendientes.
4

Gr´fica de cuatro soluciones de a una ecuaci´n aut´noma. Cada o o una de ellas se obtiene de otra traslad´ndola hacia la derecha o a hacia la izquierda.

An´lisis anal´ a ıtico versus cualitativo
x =e
x2 10

sen2 x.

Soluciones deequilibrio: x = nπ, n = 0, ±1, ±2, . . . Separando variables e integrando: dx = dt, 2 x e 10 sen2 x x > 0 para todo x = nπ.
4 3

2

1

−3

−2

−1 −1

1

2

3

−2

Campo de pendientes y gr´ficas a de dos soluciones de la ecuaci´n o x2 aut´noma x = e 10 sen2 x junto a o dos soluciones de equilibrio.

−3

−4

5

Diagramas de Fase
4 3 2
4 3 2

x=1 x=0
−2 −1.5 −1 −0.5

1x=1 x=0
0.5 1 1.5 2
−2 −1.5 −1 −0.5

1

0.5 −1

1

1.5

2

−1 −2 −3 −4

−2

−3

−4

L´ ınea de fase para la ecuaci´n o x = x(x − 1) con su campo de pendientes

Soluciones de equilibrio de la ecuaci´n x = x(x − 1) y algunas o soluciones

Definici´n o Diagrama o l´ ınea de fase para la ecuaci´n aut´noma x = f (x): o o recta vertical donde se dibujan los puntos deequilibrio, y dem´s puna tos donde se produce un cambio de signo de f (x), y el crecimiento o decrecimiento de la soluci´n de la ecuaci´n mediante flechas que o o apuntan hacia arriba o hacia abajo, respectivamente.
6

¿C´mo dibujar diagramas de fase? o
Dibujamos la l´ ınea x, vertical. Buscamos los puntos de equilibrio de la ecuaci´n; es decir, los o puntos para los que f (x) = 0;, y los marcamossobre la recta x. Buscamos los intervalos de los valores de x para los que f (x) > 0, y dibujamos flechas que apunten hacia arriba en dichos intervalos. Buscamos los intervalos de los valores de x para los que f (x) < 0, y dibujamos flechas que apunten hacia abajo en dichos intervalos

x=2

x=π

x=π/2 x=0

x=0

x=−3

x=−π/2 x=−π

x = (x − 2)(x + 3),

x = sen x
7

x = x cos x¿C´mo usar las l´ o ıneas de fase para esbozar soluciones?
Caso 1: Condici´n inicial entre dos puntos de equilibrio. o

Ejemplo
Esbozo de la gr´fica de la soluci´n de la ecuaci´n a o o dw dt = (2 − w ) sen w con la condici´n inicial w (0) = 0,4. o Puntos de equilibrio: w = 2 y w = kπ para k = ±1, ±2, . . .. Como w (t) = 0 y w (t) = 2 son soluciones de equlibrio y 0 < 0,4 < 2, por el teorema de...
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