Trabajo

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Sucesión de Fibonacci

Gráfica de la sucesión de Fibonacci hasta f10
En matemáticas, la sucesión de Fibonacci es la siguiente sucesión infinita de números naturales:

La sucesión inicia con 0 y 1, y a partir de ahí cada elemento es la suma de los dos anteriores.
A cada elemento de esta sucesión se le llama número de Fibonacci. Esta sucesiónfue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación,matemáticas y teoría de juegos.
Contenido [ocultar] * 1 Historia * 2 Definición formal * 3 Representaciones alternativas * 3.1 Función generadora * 3.2 Fórmula explícita * 3.3 Forma matricial *4 Propiedades de la sucesión * 5 Generalización * 5.1 Sucesión de Lucas * 6 Algoritmos de cálculo * 7 La sucesión de Fibonacci en la cultura popular * 8 La sucesión de Fibonacci en la naturaleza * 9 Referencias * 9.1 Bibiliografía * 9.2 Enlaces externos * 10 Véase también |
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Historia [editar]

La sucesión de Fibonacci entérminos de conejos.
Antes de que Fibonacci escribiera su trabajo, la sucesión de los números de Fibonacci había sido descubierta por matemáticos indios tales como Gopala (antes de 1135) y Hemachandra (c. 1150), quienes habían investigado los patrones rítmicos que se formaban con sílabas o notas de uno o dos pulsos. El número de tales ritmos (teniendo juntos una cantidad n de pulsos) era fn + 1, queproduce explícitamente los números 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, etc.1
La sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos: "Cierto hombre tenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y uno desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes, y en el segundo mes los nacidos parir también".2De esta manera Fibonacci presentó la sucesión en su libro Liber Abaci, publicado en 1202. Muchas propiedades de la sucesión de Fibonacci fueron descubiertas por Édouard Lucas, responsable de haberla denominado como se la conoce en la actualidad.3
También Kepler describió los números de Fibonacci, y el matemático escocés Robert Simson descubrió en1753 que la relación entre dos números deFibonacci sucesivos fn + 1 / fn se acerca a la relación áurea fi () cuanto más se acerque a infinito; es más: el cociente de dos términos sucesivos de toda sucesión recurrente de orden dos tiende al mismo límite. Esta serie ha tenido popularidad en el siglo XX especialmente en el ámbito musical, en el que compositores con tanto renombre comoBéla Bartók, Olivier Messiaen y Delia Derbyshire la han utilizadopara la creación de acordes y de nuevas estructuras de frases musicales.
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Definición formal [editar]
Los números de Fibonacci  quedan definidos por las ecuaciones
(1)
(2)
(3) para 
Esto produce los números
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y así sucesivamente de manera infinita.-------------------------------------------------
Representaciones alternativas [editar]
Para analizar la sucesión de Fibonacci (y, en general, cualquier sucesión) es conveniente obtener otras maneras de representarla matemáticamente.
Función generadora [editar]
Una función generadora para una sucesión cualquiera  es la función , es decir, una serie de potencias donde cada coeficiente es un elemento de la sucesión. Losnúmeros de Fibonacci tienen la función generadora
(4)
Cuando esta función se expande en potencias de , los coeficientes resultan ser la sucesión de Fibonacci:

Fórmula explícita [editar]
La definición de la sucesión de Fibonacci es recurrente; es decir que se necesitan calcular varios términos anteriores para poder calcular un término específico. Se puede obtener una fórmula explícita de la...