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1 Reglas de Diferenciación del texto de Alpha C. Chiang Métodos Fundamentales de Economía Matemática Función de una variable-de forma y = f ( x ) donde f significa cualquier función. En economía, generalmente, suponemos que las funciones son continuamente diferenciables. k es un constante. dy dk 1. Regla de la función constante y = f ( x ) = k = =0 ! dx dx

dy 2. Regla de la función potencial y= f ( x ) = kx n = f "( x ) = knx n#1 dx ! ! dy 3 3$1 2 • Ejemplo 1 y = 7x " = ( 7 # 3) x = 21x dx 1 1 3 dy $ 1 ' *1 7 * ! = & 7 # !x 4 = x 4 • Ejemplo 2 y = 7x 4 " ) dx % 4( 4 dy 1 ! 3. Regla de la función logaritmo natural (base de ‘e’). y = ln x " = dx x dy f #( x ) ! La versión general y = ln f ( x ) " = dx f ( x ) !dy = e x 4. Regla de la función exponencial y = e x " dx dy La versióngeneral y = e f ( x) " = f #( x )e f ( x) ! dx !
Dos o más funciones de la misma variable- f ( x ),g( x ),h ( x ) son funciones. !

d [ f ( x ) ± g( x )] df ( x ) dg( x ) = ± = f "( x ) ± g"( x ) 1. Regla de la suma y = f ( x ) ± g( x ) dx dx dx ! dy • Ejemplo 1 y = 7x 4 + 2x 3 " 3x + 37 # = 28x 3 + 6x 2 " 3 dx dy ! • Ejemplo 2 y = ax 2 + bx + c " = 2ax + b ! dx dy • Ejemplo 3 y = ax " + bx # + c $ ="ax " %1 + #bx # %1 ! dx
! 2. Regla del producto y = f ( x ) g( x ) d [ f ( x ) g( x )] ! = f ( x ) dg( x ) + g( x ) df ( x ) = f ( x ) g"( x ) + g( x ) f "( x ) dx dx dx dy 2 ! • Ejemplo 1 y = (2x + 3)( 3x ) " = (2x + 3)(6x ) + (2)( 3x 2 ) = 18x 2 + 18x o, en dx este caso podemos multiplicar primer, y después tomamos la derivada. dy y = (2x + 3)( 3x 2 ) = 6x 3 + 9x 2 " = 18x 2 + 18x . Pero, enalgunos casos no se dx ! puede. !

!

2 • La regla sirve en los casos de más que 2 funciones. Si y = f ( x ) g( x ) h ( x ) d [ f ( x ) g( x ) h ( x )] dg( x ) df ( x ) dh ( x ) = f ( x ) h( x ) + g( x ) h ( x ) + g( x ) f ( x ) = dx dx dx dx f ( x ) h ( x ) g"( x ) + g( x ) h ( x ) f "( x ) + g( x ) f ( x ) h"( x ) !
f ( x) dy g( x ) f #( x ) $ f ( x ) g#( x ) " = 2 g( x ) dx [g( x )]

3.Regla de cociente y =

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• Ejemplo 1 y =

(2x " 3) # dy = ( x + 1)2 " (2x " 3)1 = 5 2 2 dx ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1)

! (ax 2 + b) " dy = cx2ax # (ax 2 + b)c = c(ax 2 # b) = ax 2 # b • Ejemplo 2 y = 2 cx dx c2x2 cx 2 (cx ) ! Funciones de variables diferentes- x, y,w,z son variables y f ( y ),g( x ),h ( w ) son funciones. !

! 1. Regla de la cadena z = f ( y )

!

! dz dz dy = = f #(y ) g#( x ) También dx dy dx podemos obtener este resultado con la sustitución de g( x ) en la función dz z = f ( y ) = f [ g( x )] " = f #[ g( x )] g#( x ) = f #( y ) g#( x ) dx ! dz • Ejemplo 1 z = 3y 2 y = 2x + 5 " ! = (6y )(2) = 12y = 12(2x + 5) = 24 x + 60 dx 17 2 • Ejemplo 2 z = ( x + 3x " 2) Sea que y = ( x 2 + 3x " 2) # z = y17 Entonces dz dy = 17y16 = 2x + 3 ! dy dx 16 dz dz dy != =(17y16 )(2x + 3)! 17( x 2 + 3x " 2) (2x + 3) = dx dy dx
y = g( x ) "

Usos en economía (funciones de una variable). • Función de producción donde hay nada más un factor de producción, digamos el ! dy trabajo. y = f ( l) " = f #( l) la derivada es el producto marginal de trabajo dl • Función de consumo en el modelo keynesiano tradicional. Consumo actual es una función de ingreso actual (la únicavariable) y una cantidad fija, se dC = c#(Y ) La derivada es la !denomina consumo autónomo. C = C + c (Y ) " dY propensión marginal de consumo. Típicamente, en los cursos introductorias de dC macro, la función c (Y ) es lineal (c es constante) tanto que c (Y ) = cY " = c. dY !

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3 • Elasticidades en un punto-Sea que la demanda de mercado tiene una forma dQd Qd = Q( P ) , P es elprecio del producto. = Q"( P ) La elasticidad de dP dQd P demanda respecto el precio (del mismo bien) es " d = dP Qd Tasas de crecimiento. Una variable y cambio con tiempo t. Escribimos ! dy dy dt = f "( t ) . y = f (t) " = f #( t ) La tasa de cambio (o crecimiento) de y es ! dt y f (t ) Obsérvense que podemos escribir la función y = f ( t ) en logaritmos ln y = ln f ( t ) y usamos la regla de...
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