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FILTROS ADAPTATIVOS

Filtros adaptativos
Vamos a diseñar filtros suponiendo que conocemos la respuesta deseada. Usaremos las ideas de adaptación estudiadas en los primeros temas para producir de manera automática las condiciones buscadas sin necesidad de calcular la función de transferencia del filtro. Construiremos filtros adaptativos que serán redes de neuronas lineales, con lo que podremosutilizar los resultados de espacios vectoriales. Estos filtros se podrán aplicar a predicción, modelización, identificación de sistemas, eliminación de eco, etc.

El combinador lineal adaptativo
El combinador lineal con D- 1 delays y un sumador tiene como ecuación: N

y ( n) =

i =0

wi x(n − i )

y su salida es una combinación lineal de las D- 1 entradas anteriores. El diseñomediante especificaciones sólo es aplicable cuando la señal y el ruido están muy bien caracterizadas y sus espectros no se superponen. Muchas veces esto no sucede o bien la señal va cambiando con el tiempo. En estos casos no es conveniente predefinir los coeficientes sino adaptarlos a las circunstancias.

El combinador lineal adaptativo
El combinador lineal adaptativo es un sistema lineal cuyos pesosson adaptativos. Para ello se presenta la respuesta deseada y los pesos se modifican para alcanzar el mínimo de una función de coste. El diagrama coincide con el que utilizamos para la regresión lineal o para clasificación.

El combinador lineal adaptativo

Interpretaremos entonces la función como una regresión lineal, sin término independiente, de la serie de entradas a la serie de salidasdeseadas. El orden del filtro dependerá del número de delays (de la anchura de la ventana en la serie temporal)

Pesos óptimos del filtro
El comienzo del estudio de teoría de filtros óptimos fue llevado a cabo por Wiener y Kolmogorov que resolvieron el problema en tiempo continuo trabajando en espacios de Hilbert (e.v. de dimensión infinita). Dada una señal x(t) contaminada por un ruido n(t)encontrar el mejor sistema lineal capaz de aproximar otra señal dada d(t). Ésta puede ser cualquier señal, incluida x(t) adelantada τ segundos, en cuyo caso el sistema trabajará como filtro y predictor. Nosotros estudiaremos sólo el caso discreto (en e.v. de dimensión finita).

Pesos óptimos del filtro
Consideraremos el error como: ε ( n) = d ( n) − y ( n) Definimos el error cuadrático como elvalor esperado del error al cuadrado: 1 2

J=

2

E ε ( n)

{

}

Para minimizar J derivamos respecto a los pesos e igualamos a 0, obteniendo las ecuaciones de Wiener-Hopf
D −1 ∂J ö æ = − E ç x(n)d (n) − wi x(n − k ) x(n − i ) = 0 ∂wk i =0 è

que en notación vectorial es p = R w* donde R = E[xn xnT] p = E[dn xn] y

Pesos óptimos del filtro
Esta definición utiliza el operadorestadístico E (valor esperado) aunque en la práctica se utiliza en su lugar el operador temporal A: 1 N

A = lim

N →∞

N

x(i )

e incluso comunmente se sustituye el límite por una ventana de M datos con M > 10 D para que los resultados sean fiables. De esta manera quedará:

i =1

pn ( k ) =

M −1 i =0

d (n + i ) x(n − k + i )

k = 0,...D − 1

Pesos óptimos del filtro
rn (0,D − 1) ù .... é rn (0,0) ê T R = A xn xn = ê .... .... .... êrn ( D − 1,0) .... rn ( D − 1, D − 1) ë
La matriz de autocorrelación R será:

[

]

y cada una de las entradas de la matriz:
M −1 i =0

rn (k1 , k 2 ) =

xn (n − k1 − i ) xn (n − k 2 − i )

k = 0,...D − 1

Se puede demostrar que con los pesos óptimos el error cumple:

E [ε ( n) x (n − i )]

i = 0,...D − 1

Pesosóptimos del filtro

Se puede interpretar la salida del filtro como la proyección ortogonal de la señal deseada en el espacio de entradas.

Pesos óptimos del filtro
De manera similar a como lo hicimos en el primer tema, en lugar de calcular analíticamente los pesos óptimos podemos buscarlos de manera adaptativa. El coste en el espacio de los pesos es un paraboloide de ecuación:

1 J= 2...
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