Trabajos

Ejercicios 2.1
1. Pruebe que la colecci´n de todos los intervalos de la forma [a, b) con a o y b n´meros reales y a < b es una base para una topolog´ sobre R. u ıa 2. Pruebe que la colecci´n de todos los rect´ngulos abiertos (es decir, sin o a sus bordes) es una base para una topolog´ sobre el plano. ıa 3. Para ceda entero positivo n, sea Sn = {n, n + 1, ...}. Muestre que la colecci´n de todoslos subconjuntos de N que contienen a alg´n Sn es o u una base para una topolog´ sobre N. ıa 4. Sean X un conjunto y S una colecci´n de subconjuntos de X. Sea B la o colecci´n de todas las intersecciones finitas de elementos de S. o a) Demuestre que la uni´n de la colecci´n B es X. (Sugerencia: Cono o sidere la intersecci´n de una familia vac´ de elementos de S.) o ıa b) Pruebe que si A y Bpertenecen a B y si x ∈ A ∩ B, entonces existe C ∈ B tal que x ∈ C y C ⊂ A ∩ B. Se ha demostrado que B es una base para una topolog´ sobre X. La ıa colecci´n S es una sub-base para la topolog´ que genera la base B. o ıa, Los elementos de S se dicen ser sub-b´sicos. a 5. Considere la colecci´n S de conjuntos de la forma (−∞, a) junto con o los conjuntos de la forma (b, ∞). Esta colecci´n es una sub-basepara o una topolog´ sobre R. ıa a) Describa la base B generada por S. b) Describa los conjuntos abiertos generados por B. 6. Considere la colecci´n S de todas las lineas rectas en el plano. o a) Describa la base B generada por S. b) Describa los conjuntos abiertos generados por B. 7. Sea X un conjunto y B una base para una topolog´ sobre X. Demuestre ıa cada una de las siguientes afirmaciones: a) Elconjunto vac´ ∅ y el conjunto X son conjuntos abiertos. ıo 1

b) Si A y B son conjuntos abiertos en X entonces A∩B es un conjunto abierto en X. c) La uni´n de cualquier familia de conjuntos abiertos en X es un o conjunto abierto en X.

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Ejercicios 2.2
1. Describa todas las topolog´ que existen sobre un conjunto de dos ıas elementos y determine para cada par de ellas si una es mas fina omenos fina que la otra. 2. Determine cu´les de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cu´les a a son falsas. En cada caso, justifique su respuesta con una demostraci´n o o un contraejemplo. a) La intersecci´n de dos topolog´ sobre un conjunto X es una o ıas topolog´ sobre X. ıa b) La intersecci´n de cualquier familia de topolog´ sobre un cono ıas junto X es una topolog´ sobre X. ıa c) La uni´nde dos topolog´ sobre un conjunto X es una topolog´ o ıas ıa sobre X. d ) La uni´n de cualquier familia de topolog´ sobre un conjunto X o ıas es una topolog´ sobre X. ıa 3. Demuestre que si B es una base para una topolog´ sobre X, entonces ıa la topolog´ generada por B es igual a la intersecci´n de todas las ıa o topolog´ sobre X que contienen a B. ıas 4. Demuestre que si S es una sub-base parauna topolog´ sobre X, enıa tonces la topolog´ generada por S es igual a la intersecci´n de todas ıa o las topolog´ sobre X que contienen a S. ıas 5. D´ un ejemplo que muestre que la topolog´ radial del plano no es e ıa menos fina que la topolog´ usual. ıa

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Ejercicios 2.3
1. Suponga que X es un conjunto dotado con la topolog´ discreta. Deıa termine todas las vecindades de cada punto x ∈ X. 2.Sea X un conjunto dotado con la topolog´ grosera y sea x ∈ X. Deıa termine todas las vecindades de x. 3. Considere el conjunto de los n´meros naturales con la topolog´ de las u ıa colas a la derecha. Determine todas las vecindades de cada n´mero u natural. 4. Considere el conjunto de los n´meros naturales con la topolog´ de llos u ıa complementos finitos. Determine todas las vecindades de cadan´mero u natural. 5. Suponga que τ1 y τ2 son dos topolog´ sobre el mismo conjunto X y ıas que τ1 es m´s fina que τ2 . Compare las colecciones de vecindades de un a mismo punto en los dos espacios topol´gicos. o 6. Sea X un espacio topol´gico y suponga quepara cada x ∈ X la coleco ci´n B(x) es un sistema fundamental de vecindades de x. Pruebe los o siguientes hechos: a) Si V ∈ B(x), entonces x ∈ V ....