Transformaciones algebraicas i

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TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS I

PRODUCTOS NOTABLES:

Al multiplicar algunos tipos de expresiones algebraicas se obtienen productos en que se distinguen algunos rasgos notables; los cuales nos permiten efectuar esa operación (la multiplicación) en forma rápida al aplicar la regla correspondiente.
Tales productos reciben el nombre de productos notables a continuación veremos algunos casos.PRODUCTO DE LOS BINOMIOS CONJUGADOS:

Si se tiene el binomio x + y, entonces x – y es su conjugado y viceversa.
Para multiplicar dos binomios conjugados se aplica la regla siguiente:

MULTIPLICACIÓN DE DOS BINOMIOS CONJUGADOS

El producto de un binomio por su conjugado es igual al cuadrado del primer termino, menos el cuadrado del segundo.

CUADRADO DE UN BINOMIO

El producto de unbinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primer término , mas el doble del producto del primer termino por el segundo, mas el cuadrado del segundo termino.

EL PRODUCTO DE DOS BINOMIOS QUE TIENEN UN TERMINO COMÚN

El producto de dos binomios que tienen un termino en común es igual al cuadrado del termino común , mas el producto del termino común por la suma de los no comunes, mas elproducto de los términos no comunes.

CUBO DE UN BINOMIO

El cubo de un binomio es igual al cubo del primer termino, mas el triple producto del cuadrado del primer termino por el segundo, mas el triple producto del primer termino por el cuadrado del segundo, mas el cubo del segundo.

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

DIVISIÓN DE UN MONOMIO ENTRE UN MONOMIO:

Para dividir un monomio entre un monomio sesiguen estos pasos:

1. Se dividen los coeficientes numéricos.
2. Se aplica la ley de los exponentes.

DIVISIÓN DE UN MONOMIO ENTRE UN POLINOMIO

Para dividir un polinomio entre un monomio se aplica la propiedad distributiva de la división, es decir, se divide cada termino del polinomio entre el monomio.

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

La división euclidiana de dos polinomios, igual quela división de números enteros dentro del dominio entero, permite encontrar como resultado del proceso de división un polinomio cociente y un polinomio residuo, y para efectuarla se siguen estos pasos:

1. Se ordenan los dos polinomios en orden decreciente de una de las letras comunes a ambos polinomios, incluidos los términos con coeficiente cero para las potencias faltantes.
2. Se divideel primer termino del dividendo entre el primer termino del divisor, con lo que se obtiene el primer termino coeficiente.
3. Se multiplica el primer termino del coeficiente, por el divisor y el producto obtenido se resta del dividendo, y se obtiene un nuevo dividendo.
4. Con el nuevo dividendo se repiten las operaciones de los pasos 2 y 3 hasta que el polinomio resultante sea cero ocontenga la letra respecto a la que se hizo el procedimiento del primer paso, con un exponente menor al que posee dicha letra en el divisor.
5. Se comprueba que el resultado sea correcto multiplicando el cociente por divisor y al producto obtenido se le suma el residuo de la división. El resultado debe coincidir con el polinomio dividendo.

PROBLEMAS

1. (a-5) (a-5) = a2 – 25
2. (2b+7)(2b –7) = 4b2 – 49
3. (3x+5) (3x-5) = 9x2 – 25
4. (7w-2a)(7w+2a) = 49w2 – 4a2
5. (a+b)2 = a2 + 2ab +b2
6. (n-5)2 = n2 –10n + 25
7. (3 a +b)2 = 9 a2 +6 ab + b2
8. (3 x – 5)3 = (3 x)3 + 3 (3 x)2 (-5) + 3 (3 x) (-5)2 + (-5)3 = 27 x3 + 3 (9 x) (-5) + (9 x)(25) – 125 = 27 x3 + (27 x2)(-5) + 225 x – 125 = 27 x3 –135 x2 + 225 x – 125
9. (2x +3)3 = (2x)3 + 3 (2x)2 (3) + 3 (2x)(3)2 + (3)3 = 8x3 + 9 (4x2) + 27 (2x) + 27 =
= 8x3 + 36 x2 + 54 x + 27
10. ( x + 8) (x + 3) = x2 + x (8 + 3 ) + (8) (3) = x2 + 11 x + 24
TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS I

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