Transformaciones consecutivas

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INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANO
Institución Universitaria Adscrita a la Alcaldía de Medellín

Programa de Sistemas de Información
Tel. 460 0727 Ext. 5567 Fax 440 51 02 E-mail frayosorio@itm.edu.co

Transformaciones Espaciales
Ubicación en el espacio En robótica es indispensable representar posiciones y orientaciones en el espacio debido que el movimiento de los manipuladoresrobóticos se hace en las 3 dimensiones. Con este propósito las siguientes especificaciones están basadas en los desarrollos de Jhon Craig (1986). Para la ubicación en el espacio, en primer lugar se definirá un sistema de coordenadas que se denominará Marco y que se representa mediante una letra o un número entre llaves. En este caso se llamará el marco {A}. La ubicación de un punto con coordenadas p x ,p y y p z se representa

P y que se lee “p en A”.  px    A La siguiente gráfica ilustra la ubicación espacial de P  p y :    pz   
mediante un vector de 3 posiciones al que se denominará

A

ˆ ˆ ˆ En esta gráfica se puede observar que el marco {A} lo describen 3 vectores unitarios X A , Y A y Z A , los cuales están en las direcciones de los ejes del sistema de coordenadasrespectivo.
La orientación de un cuerpo se describe mediante un sistema de coordenadas {B} adjunto al cuerpo el cual generalmente debe ser representado con respecto a otro sistema de coordenadas {A} que se denomina marco de referencia.

ˆ ˆ ˆ Siendo X B , YB y Z B los vectores unitarios del marco {B}, para expresar estos vectores con respecto
al marco {A} se utilizarán las siguientedenominaciones “Y de B en A” y “Z de B en A”).
A

ˆ ˆ ˆ X B , AYB y A Z B (que se leen “X de B en A”,

Disponiendo estos vectores como las columnas de una matriz:



A

ˆ XB

A

ˆ YB

A

ˆ ZB



 r11 r12  r21 r21  r31 r32 
A

r13  r21   r33  

A esta matriz se le denomina Matriz de Rotación y es de vital importancia en el modelado de problemas en robótica.
A B

ˆ R AXB



ˆ YB

A

ˆ ZB



Lo cual se lee “rotación de B en A”.

ˆ Por ejemplo, si el marco del cuerpo {B} se rota un ángulo  con respecto al eje Z del marco {A}, se tendría la siguiente matriz de rotación:

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cos   A B R  RZ     sen  0 

 sen cos  0

0 0  1 

El cuerpo a su vez tendría una ubicación con respecto al marco {A} el cual se representa mediante el vector
A

PORGB

 A p xORGB      A p yORGB  , que se lee “origen de B en A”.  A p zORGB   

La anterior rotación se podría graficar de la siguiente manera:Ahora, la matriz de representación del cuerpo con respecto al marco {A} tendrá una columna adicional correspondiente el vector A PORGB . Esta matriz se denomina Matriz de Transformación Homogénea y su composición es como sigue:
A B

 AR T  B 0 0 0

A

ˆ PORGB   A X B  1   0

A

ˆ YB 0

A

ˆ ZB 0

A

PORGB   1 

Obsérvese que los valores de la nueva fila (fila 4) seasignan de tal manera que no afecten las operaciones que se realicen con ella. Para el ejemplo de rotación anterior, la siguiente sería la matriz de transformación:

cos   A  sen BT   0   0 
A

 sen cos  0 0

0 0 1 0

p xORGB   A p yORGB  A p zORGB   1  
A

Con base en la anterior matriz, es posible definir la siguiente ecuación:

P AT B P B

Esta ecuacióndescribe una transformación general de mapeo de un vector B P desde su descripción en un marco {B} a su descripción en un segundo marco {A}. Esta ecuación en términos matriciales tiene la siguiente composición:

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