Transformaciones geométricas

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

JAIME BOLAÑOS

UNIVERSIDAD DE AMERICA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES
ÁLGEBRAS
TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

Transformación geométrica es la operación que permite deducir una nueva figura de otra dada. Por tanto, existirán elementos origen y elementos transformados. El interés del estudio de las transformaciones radica en la posibilidad de facilitarla resolución de problemas gráficos de difícil resolución. En estos casos, se aplica una transformación a los datos, convirtiéndolos en otros de disposición más sencilla, con los que se resuelve el problema. Después basta aplicar a esta solución la transformación inversa para obtener el resultado buscado.

CLASIFICACIÓN:

a. Transformaciones isométricas: son aquellas que conservan lasdimensiones y los ángulos entre la figura original y su transformada. También se llaman movimientos. Ejemplos: simetrías, traslación, giro.
b. Transformaciones isomórficas o conformes: son aquellas que sólo conservan la forma; es decir, en ellas los ángulos de la figura original y de la transformada son iguales y las longitudes proporcionales. Por ejemplo, la homotecia.
c. Transformacionesanamórficas: son aquellas que cambian la forma entre la figura original y la transforma. Por ejemplo, la inversión y la homología.

ELEMENTOS DE UNA TRANSFORMACIÓN GEOMÉTRICA

Se llaman elementos característicos de una transformación aquellos que nos definen todas las correspondencias entre la figura original y la transformada.
Se llaman elementos dobles de una transformación aquellos que setransforman en sí mismos.
Se llama producto de transformaciones la transformación obtenida por la aplicación sucesiva a una figura geométrica de dos o más transformaciones, en un determinado orden.

HOMOLOGÍAS

Homografía

Se denomina homografía a cualquier transformación proyectiva que establece una correspondencia entre dos formas geométricas, de modo que a un elemento, punto o recta, de una deellas le corresponde otro elemento de la misma especie, punto o recta de la otra.

Homología

Es una transformación homográfica resultante de efectuar una proyección desde un punto, en la que a cada uno de los puntos y de las rectas de una figura plana le corresponden, respectivamente, un punto y una recta de su figura homológica, de modo que se cumplan unas determinadas condiciones.
[pic]Dados el plano ? y otro plano cualquiera, por ejemplo el plano horizontal (pH) y un punto O que no pertenece a ellos, se establece una correspondencia entre los puntos de dichos planos de forma que al punto A, del plano ?, le corresponde otro punto A' hallado como intersección de la recta OA con el pH. Esta correspondencia se dice que establece una perspectividad entre los dos planos como lomuestra la figura anterior.

Al punto A' se le llama homólogo del punto A. Los homólogos de los puntos situados en el infinito son puntos de la recta límite (RL).

Si en vez de un punto A tenemos la figura F definida por el triángulo ABC podemos deducir que a F le corresponde otra figura F' al interseccionar todas las rectas que unen el punto O con los vértices de F, en el pH.
De esta forma A y A'son puntos homólogos al igual que B y B', etc.

Si prolongamos la recta que une los vértices A y B hasta la intersección del plano ? con el pH (llamada "eje de homología") determinamos un punto S. De igual forma si prolongamos la recta que une los homólogos A' y B' sobre el eje de homología obtendremos un punto S' coincidente con S. Podemos decir, por tanto, que S?S' es un punto doble, es decirhomólogo de si mismo; por consiguiente, todos los puntos del eje de homología son dobles.

Si se abate el plano ? sobre el pH, la recta AB mantendrá el mismo ángulo con respecto al eje de homología de forma que las rectas OAA', OBB' y OCC' tendrán que seguir manteniéndose, con lo que tendremos definida la homología.
[pic]
La homología plana (mostrada en la figura de abajo) es, por tanto,...