Transformaciones lineales

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INTRODUCCION
La intención del proyecto es aprender por razón de la investigación de los temas que conforman la Unidad V de Transformaciones Lineales por lo cual es importante que tengamos bases o conocimientos sobre el tema para profundizar. Un ejemplo de en que se utilizan la transformación Lineal puede ser el siguiente:
A medida que la tierra rota, los vectores en el eje de rotaciónpermanecen invariantes. Si se considera la transformación lineal que sufre la tierra tras una hora de rotación, una flecha que partiera del centro de la tierra al Polo Sur geográfico sería un vector propio de esta transformación, pero una flecha que partiera del centro a un punto del ecuador no sería un vector propio. Dado que la flecha que apunta al polo no cambia de longitud por la rotación, su valorpropio es 1.
Otro ejemplo sería una lámina de metal que se expandiera uniformemente a partir de un punto de tal manera que las distancias desde cualquier punto al punto fijo se duplicasen. Esta expansión es una transformación con valor propio 2. Cada vector desde el punto fijo a cualquier otro es un vector propio, y el espacio propio es el conjunto de todos esos vectores.
Estos son ejemplos de cómose pueden aplicar las Transformadas Lineales uno de tantas aplicaciones donde se pueden emplear.
Una Transformación (o función o mapeo) T de Rᵑ a Rᵐ es una regla que asigna a cada vector x en Rᵑ un vector T(x) en Rᵐ. El conjunto Rᵑ se llama dominio de T y Rᵐ se llama codominio de T. la notación T: Rᵑ Rᵐ indica que el dominio de T es Rᵑ y que el codominio Rᵑ. Para x en Rᵑ, el vector T(x) enRᵑ se denomina imagen de x (Bajo la acción de T). El conjunto de todas las imágenes T(x) es llamado rango de T.

MARCO TEORICO
(Rouché–Frobenius, 1875)
El teorema establece que para que un sistema de ecuaciones lineales sea compatible es condición necesaria y suficiente que la matriz formada por los coeficientes junto con la ampliada por los términos independientes posea el mismo rango. Por lodemás, el sistema constituido será determinado si su rango coincide con el número de incógnitas ó será indeterminado si posee un valor menor a tal número.

(Lineal)
T(au + bv) = aTu + bTv.
T(au) = aTu y T(u + v) = Tu + Tv.
IGUALDADES
TI = IT = T, a(TS) = (aT)S = T(aS),
T(S1 + S2) = TS1 + TS2, (S1 + S2)T = S1T + S2T.

Un espacio vectorial con un producto asociativo con estaspropiedades, se dice que es un álgebra sobre R.
En la próxima sección se introducirá el álgebra Mn(R) de las matrices de n filas y n columnas de números reales.

A toda transformación lineal T: V ® W, se le asocian un subespacio del dominio V y un subespacio del codominio W.

DEFINICIÓN TRANSFORMACIÓN LINEAL Y SUS PROPIEDADES
Para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales empleamos dosherramientas matemáticas que facilitar los cálculos: las matrices y los determinantes.
Una matriz es una tabla ordenada de escalares aij de la forma


Determinantes.

A las matrices cuadradas se les asocia un número, llamado determinante de la matriz, que resulta muy útil para bastantes cuestiones. Este número se representa escribiendolos elementos de la matriz entre dos barras verticales(en vez de entre paréntesis). Lo definiremos para las matrices cuadradas de orden 2 y 3 e indicaremos como se calculapara matrices de mayor orden.

Las matrices y los determinantes nos permiten expresar de una manera clara, concisa y elegante la condición de compatibilidad de los sistemas de ecuaciones lineales.
(Rouché–Frobenius, 1875)

Sean V y W espacios vectoriales reales. Unatransformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v Î V un vector único Tv Î W que satisface, para cada u y v en V y cada escalar α.

T(u+v)=Tu+Tv
Y
T(αv) = αTv

En algunos textos se llaman transformaciones lineales las funciones lineales de un espacio vectorial V en sí mismo. Para distinguir el vector cero de V del vector cero de W y del número 0, se indicará con 0V...
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