Transformaciones lineales

Cap´ ıtulo 3

Transformaciones lineales
´ Las transformaciones lineales son las funciones con las que trabajaremos en Algebra Lineal. Se trata de funciones entre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es decir, con la operaci´n y la acci´n) de estos espacios. o o

3.1

Definiciones, ejemplos y propiedades b´sicas a

En esta secci´n introduciremos la noci´n detransformaci´n lineal, as´ como tambi´n ciertas o o o ı e nociones b´sicas asociadas a estas funciones. a

3.1.1

Transformaciones lineales

Definici´n 3.1 Sean (V, +V , ·V ) y (W, +W , ·W ) dos K-espacios vectoriales. Una funci´n o o f : V → W se llama una transformaci´n lineal (u homomorfismo, o simplemente morfismo) o de V en W si cumple: i) f (v +V v ) = f (v) +W f (v ) ∀ v, v ∈ V. ii) f (λ ·V v)= λ ·W f (v) ∀ λ ∈ K, ∀ v ∈ V.

Observaci´n 3.2 Si f : V → W es una transformaci´n lineal, entonces f (0V ) = 0W . o o En efecto, puesto que f (0V ) = f (0V + 0V ) = f (0V ) + f (0V ), entonces 0W = = f (0V ) + (−f (0V )) = f (0V ) + f (0V ) + (−f (0V )) = f (0V ) + f (0V ) + (−f (0V )) = f (0V ) + 0W = f (0V ).

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Transformaciones lineales

Ejemplos. 1. Sean V y W dos K-espaciosvectoriales. Entonces 0 : V → W , definida por 0(x) = 0W ∀ x ∈ V , es una transformaci´n lineal. o 2. Si V es un K-espacio vectorial, id : V → V definida por id(x) = x es una transformaci´n o lineal. 3. Sea A ∈ K m×n . Entonces fA : K n → K m definida por fA (x) = (A.xt )t es una transformaci´n lineal. o 4. f : K[X] → K[X], f (P ) = P es una transformaci´n lineal. o
1

5. F : C(R) → R, donde C(R) = {f: R → R | f es continua}, F (g) = transformaci´n lineal. o
0

g(x) dx es una

Como hemos mencionado al comienzo, las transformaciones lineales respetan la estructura de K-espacio vectorial. Esto hace que en algunos casos se respete la estructura de subespacio, por ejemplo en las im´genes y pre-im´genes de subespacios por transformaciones lineales: a a Proposici´n 3.3 Sea f : V → W unatransformaci´n lineal. Entonces: o o 1. Si S es un subespacio de V , entonces f (S) es un subespacio de W . 2. Si T es un subespacio de W , entonces f −1 (W ) es un subespacio de V . Demostraci´n. o 1. Sea S ⊆ V un subespacio y consideremos f (S) = {w ∈ W / ∃ s ∈ S, f (s) = w}. (a) 0W ∈ f (S), puesto que f (0V ) = 0W y 0V ∈ S. (b) Sean w, w ∈ f (S). Entonces existen s, s ∈ S tales que w = f (s) y w = f(s ). Luego w + w = f (s) + f (s ) = f (s + s ) ∈ f (S), puesto que s + s ∈ S. (c) Sean λ ∈ K y w ∈ f (S). Existe s ∈ S tal que w = f (s). Entonces λ · w = λ · f (s) = f (λ · s) ∈ f (S), puesto que λ · s ∈ S. 2. Sea T un subespacio de W y consideremos f −1 (T ) = {v ∈ V / f (v) ∈ T }. (a) 0V ∈ f −1 (T ), puesto que f (0V ) = 0W ∈ T . (b) Sean v, v ∈ f −1 (T ). Entonces f (v), f (v ) ∈ T y, por lotanto, f (v + v ) = f (v) + f (v ) ∈ T . Luego v + v ∈ f −1 (T ). (c) Sean λ ∈ K, v ∈ f −1 (T ). Entonces f (v) ∈ T y, en consecuencia, f (λ·v) = λ·f (v) ∈ T . Luego λ · v ∈ f −1 (T ).

3.1 Definiciones, ejemplos y propiedades b´sicas a

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De la Definici´n 3.1 se deduce inmediatamente que una transformaci´n lineal preserva o o combinaciones lineales. Veremos que, debido a esto, unatransformaci´n lineal queda un´ o ıvocamente determinada por los valores que toma en los elementos de una base cualquiera de su dominio. Comenzamos con un ejemplo. Ejemplo. Hallar, si es posible, una transformaci´n lineal f : R2 → R2 que verifique f (1, 1) = o (0, 1) y f (1, 0) = (2, 3). Dado (x1 , x2 ) ∈ R2 se tiene que (x1 , x2 ) = x2 (1, 1) + (x1 − x2 )(1, 0). Entonces, si f verifica lo pedido, debe ser f(x1 , x2 ) = = x2 .f (1, 1) + (x1 − x2 ).f (1, 0) = x2 .(0, 1) + (x1 − x2 ).(2, 3) (2x1 − 2x2 , 3x1 − 2x2 ).

Adem´s, es f´cil ver que esta funci´n es una transformaci´n lineal y que vale f (1, 1) = (0, 1) a a o o y f (1, 0) = (2, 3). Luego, f (x1 , x2 ) = (2x1 − 2x2 , 3x1 − 2x2 ) es la unica transformaci´n lineal que satisface ´ o lo pedido. La construcci´n realizada en el ejemplo puede...