Transformaciones Lineales

Ing. José Luis Unamuno & Asoc.

Tel.: 4255-5424

CBC EXACTAS – INGENIERÍA PRÁCTICA 5 TRANSFORMACIONES LINEALES
(EN ESTE APUNTE TRANSCRIBIREMOS LA INTRODUCCIÓN TEÓRICA Y LOS TEXTOS DE LOS EJERCICIOS TOMADOS DEL APUNTE EDITADO POR LA “FUNDACIÓN ENSEÑAR CIENCIA” A LOS EFECTOS DE ACLARAR LAS DEFINICIONES QUE VAMOS A UTILIZAR Y ESTABLECER LA MISMA NOTACIÓN SIMBÓLICA, LOS APUNTES MENCIONADOS LOSPODÉS ADQUIRIR EN UBASUR, EVA PERÓN 1265 FRENTE A LA UBA, ¿EN AVELLANEDA?) Presentación: aquí vamos a ver sin dibujos ni cosas por el estilo, y con en enfoque lo más estricto posible el tema Transformaciones Lineales (que es un tema espinoso porque cada vez se suman más conceptos) Recordemos que esto es Álgebra, y el Álgebra se basa en definiciones, son puras definiciones y construcciones que nonecesariamente representan elementos reales, en muchos casos son puras abstracciones. Tenés que manejar sin dudas ni baches el tema Espacios Vectoriales, si no, no vale la pena seguir. Aclaración: aquí están resueltos solo los problemas típicos y los que entrañan alguna dificultad en particular. Si un problema se resuelve como otro anterior, simplemente haremos una referencia al problema yaresuelto.

TRANSFORMACIONES LINEALES (TL)
Definiciones y Propiedades TRANSFORMACIONES LINEALES Sean V y W espacios vectoriales sobre R. Una transformación lineal f:V W es una función que satisface las siguientes dos propiedades:
TL: 1 TL: 2

Si u V y v V, f(u+v) = f(u) + f(v). Si k R y u V, f(k.u) = k f(u).

Son TL: La función Nula, 0:V W dada por 0(v)=0 ∀ v ∈ a V La función Identidad, id:V, dadapor id(v)=v, ∀ v ∈ V. Propiedades: Cualquier TL f:V W satisface: a) f(0) = 0 b) f(-v) = -f(v) c) f(v-w) = f(v) – f(w) d) f(a1.v1+a2.v2+ . . . +an.vn) = a1.f(v1) + a2.f(v2) + . . . + an.f(vn) Notación: si f:V W , S T V , T T W , w ∈ W, notamos f(S) = {w ∈ W / w =f(s), con s ∈ S} f -1(w) = {v ∈ V / f(v) = w} f -1(T) = {v ∈ V / f(v) ∈ W T} Propiedades: Si S es subespacio de V, entonces f(S) essubespacio de W Si T es subespacio de W, entonces f -1(T) es subespacio de V. Teorema: Si {v1,v2, … , vn} es una base de V, w1, w2,…wn son vectores (no necesariamente distintos) en W, entonces hay una única TL tal que f(v1) = w1, f(v2) = w2, …, f(vn) = wn,

Pag. 1 de 18

www.unamuno.com.ar
AlgebraCBC_Practica_5_TransformacionesLineales19.doc

03/03/2006

Ing. José Luis Unamuno & Asoc.

Tel.:4255-5424

Este teorema nos dice que una TL está completamente determinada por los valores que toma en una base. Si f:V W es una TL, llamamos: Núcleo de f imagen de f Observación Im f = f(V) Propiedades: si f:V W es una TL, entonces: a) Nu f es un subespacio de V b) Im f es un Subespacio de W c) Si {v1,v2, … , vn} es un conjunto de generadores de V, entonces: {f(v1), f(v2), … , f(vn)} es unconjunto de generadores de Im f. d) Si {f(v1), f(v2), … , f(vn)} es linealmente Independiente, entonces v1,v2, … vn es linealmente Independiente Decimos que un TL f:V W es : Monomorfismo Epimorfismo si es suryectiva, esto es, si Im f L W Isomorfismo Propiedades: si f:V W es una TL, entonces: a) f es Monomorfismo Nu f = 0 si es biyectiva , es decir si es Monomorfismo y Epimorfismo si es inyectiva,esto es, si verifica “f(v)=f(w) entonces v=w” al conjunto al conjunto Nu f = {v ∈ V / f(v)=0} Im f = {w ∈ W / w = f(v), con v ∈ V}

b) Si f es Monomorfismo y {v1, v2, …, vr} es linealmente independiente, entonces {f(v1), f(v2), … ,f(vr)} es linealmente independiente. c) f es Isomorfismo si y sólo si: “Si {v1,v2, …, vn} es base de V, entonces {f(v1), f(v2), … f(vn)} es base de W Teorema de laDimensión si f:V W es una TL, entonces dim V = dim Nu f + dim Im f Propiedades: si f:V W y g:W U son TL, la composición gºf:V U dada por (gºf) (v) = g(f(v)), es TL. Si f:V W es Isomorfismo, la función inversa f -1:W V , que cumple f º f Isomorfismo. Si f:V W y g:W U son Isomorfismos (gºf) es Isomorfismo y se verifica: (gºf) -1 = f -1ºg -1 Una TL p:V V es un proyector si pºp=p. Propiedad: si p:V V es...