Transformaciones lineales

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Transformaciones lineales
En este documento se presenta una revisión bibliográfica sobre una clase especial de funciones denominadas transformaciones lineales que aparecen frecuentemente en el álgebra lineal y otras ramas de la matemática. Tales funciones cumplen ciertas propiedades y de ellas se obtienen numerosos resultados, tanto en las matemáticas como en otras áreas del saber. Por ejemploen geometría se usan para definir homotecias, en finanzas para convertir un conjunto de activos a otro, en dibujos o gráficas, para cambiar el punto de vista aplicando una rotación o una proyección... La primera parte de este documento se centra en la definición formal del concepto de transformación lineal dentro de las matemáticas, presentando resultados obtenidos de Grossman, (s.f); Friedberg(1982); Hefferon, (2000); Moore (s.f). Cabe aclarar que solo se presentan algunos resultados sin demostraciones formales, mismas que se encuentran en los materiales citados. La segunda parte centra su atención en algunos resultados de investigación sobre la enseñanza de las transformaciones lineales en espacios universitarios realizados por diversos investigadores de la educación matemáticaTransformaciones lineales.
En este apartado se presentan los resultados principales que se tienen sobre las transformaciones lineales tal como se encuentran en Grossman, (s.f); Friedberg (1982); Hefferon, (2000); Moore (s.f), en ellos se pueden consultar las demostraciones formales y numerosos ejemplos de transformaciones lineales. En la mayoría de ellos no se presentan en combinación lasdistintas representaciones geométricas o algebraicas de las transformaciones lineales, que en muchas ocasiones solo se presenta su aspecto algebraico dejando de lado la riqueza visual que otorgan sus representaciones geométricas. Con esto no se quiere decir que se deben usar las representaciones geométricas para el estudio de las transformaciones lineales sino más bien que se encuentre un equilibrioentre las representaciones algebraicas y geométricas.
Sean U, V, espacios vectoriales sobre un campo K, y una función. T se dice ser una transformación lineal si:
1. Dados
2. Dado
Para ilustrar este concepto mencionamos las transformaciones siguientes:
La transformación cero definida sobre cualquiera dos espacios vectoriales U y V sobre un campo K, como
Latransformación identidad definida sobre cualquier espacio vectorial V sobre un campo K, como
La transformación reflexión en definida por. Geométricamente, R toma un vector en y lo transforma en su reflexión con respecto al eje x.
La transformación rotación definida en por donde es
La transformación proyección que toma un vector en el espacio y lo proyecta en el plano xy. Análogamente proyecta un vector del espacio en el planoxz.
Asimismo el operador integral y el operador diferencial también son transformaciones lineales.
En lo que sigue supondremos que U y V son espacios vectoriales cualesquiera sobre un campo K.
El teorema anterior nos indica que bajo estas hipótesis necesitamos conocer únicamente la definición de T sobre la base de V. Esto determina T completamente. De esta manera podemos calcular si conocemos conuna base de V.
Existen otras propiedades importantes por ejemplo que toda transformación lineal tiene asociada una matriz, sin embargo, no mencionamos aquí los resultados asociados a matrices puesto que nuestro fin es centrarnos en la construcción del concepto de transformación lineal y para ello son suficientes por el momento las propiedades descritas.
1. El estudio de las transformacioneslineales desde diferentes puntos de vista.
El estudio de los conceptos del álgebra lineal presenta para los alumnos una serie de dificultades puesto que, en la mayoría de las ocasiones, es el inicio de su primer curso formal de matemáticas. Dorier y Sierpinska (2001) mencionan algunas de las razones por las que algunos estudiantes encuentran difícil aprender el álgebra lineal.
* La...
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