transformaciones lineales

Páginas: 140 (34797 palabras) Publicado: 9 de febrero de 2015
7.1 DEFINICIONES Y PROPIEDADES
En esta sección se definirán y estudiarán transformaciones lineales de un espacio vectorial U a un espacio
vectorial V. Analizaremos y demostraremos sus propiedades más importantes. La atención se centrará en una
clase especial de tales funciones denominadas transformaciones lineales. Las transformaciones lineales son
fundamentales en el estudio del álgebralineal y tienen muchas aplicaciones importantes.
En este capítulo, estudiaremos un tipo especial de función definida en un espacio
vectorial U y que toma los valores que son vectores en el mismo o en otro espacio
vectorial V, las cuales no alteran a las combinaciones lineales. Esta función se llama
transformación lineal. Estas transformaciones se pueden representar por medio de
matrices, enel mismo sentido que los vectores se representan por medio de n-adas.
Esta representación requiere que se definan las operaciones de adición,
multiplicación por escalares y multiplicación de matrices, de modo que correspondan
a estas operaciones con las transformaciones lineales.
La matriz que representa a una transformación lineal de U hacia V, depende de la
elección de una base en U y unabase en V. Nuestro primer problema, que se repite
siempre que se usan matrices para representar cualquier cosa, es ver en qué forma un
cambio en la elección de las bases determina un cambio correspondiente en la matriz
que representa a la transformación lineal. Dos matrices que representan la misma
transformación lineal con respecto a conjuntos diferentes de bases, deben tener
algunaspropiedades en común. Esto conduce a la idea de relaciones de equivalencia
entre dos matrices. La naturaleza exacta de esta relación de equivalencia depende de

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TRANSFORMACIONES LINEALES

las bases que se permitan. En este capítulo no se imponen restricciones sobre las
bases que se permiten y obtenemos la clase de equivalencia más amplia.
DEFINICION 7.1.1
Sean U y V dos espaciosvectoriales, ambos definidos sobre el mismo
cuerpo K. Una transformación lineal f de U hacia V es una aplicación
uniforme de U en V que asocia a cada elemento u de U, un elemento único
f(u) de V de tal forma que se cumplen los axiomas siguientes:
1.- Para todo u, v de U, entonces: f(u + v) = f(u) + f(v);
2.- Para todo u de U y para todo escalar , entonces: f(u) = f(u).
Observe que en esta identidad,la adición y la multiplicación escalar del primer
miembro, tienen lugar en U, mientras que las del segundo miembro tienen lugar en
V. A f(u) se le da el nombre de imagen de u bajo la transformación lineal f. Además
vemos que, para tener una transformación lineal,
f(u + v) = f(u) + f(v) y f(u) = f(u).
Hablando en términos generales, la imagen de la suma es la suma de las imágenes
y laimagen del producto es el producto de las imágenes. Este lenguaje descriptivo
se tiene que interpretar con cierta amplitud, ya que las operaciones antes y
después de aplicar la transformación lineal pueden llevarse a cabo en espacios
vectoriales diferentes.

EJEMPLO 7.1.1
Determinar cuál de las siguientes funciones f : R3  R3, define una transformación
lineal:
a.- f((a, b, c)) = (a + 2b – 3c,3a - b + 5c, a – b – c);
b.- f((a, b, c)) = (a + b + c, a + b + c, a + b + c);
c.- f((a, b, c)) = (2a - 2b + 3c, a – b + c, 3a - 5b + 3c);
d.- f((a, b, c)) = (3a - 5b, 2a - 2b, a + b2).
SOLUCION
Sean u = (m, n, p) y v = (r, s, t) dos vectores del espacio de salida R3 y sean , 
escalares, entonces:
u + v = (m + r, n + s, p + t).
a.- f(u + v) = (m + r + 2n + 2s - 3p - 3t,3m + 3r - n - s + 5p +
+ 5t, m + r – n - s - p - t)
= (m + 2n - 3p, 3m - n + 5p, m - n - p) + (r + 2s - 3t,
3r - s + 5t, r - s - t)
= (m + 2n - 3p, 3m - n + 5p, m - n - p) + (r + 2s - 3t, 3r - s + 5t, r - s - t)
= f(u) + f(v).
Por lo tanto f es transformación lineal.
b.- f(u + v) = (m + r + n + s + p + t, m + r + n + s + p + t,
m + r + n...
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