Transformaciones lineales

Índice

Unidad 5 Transformaciones Lineales

Introducción

5.1 Definición de Transformación Lineal y sus propiedades

5.2 Ejemplos Transformaciones Lineales (reflexión, dilatación, contracción, rotación)

5.3 Definición Núcleo Kernel Transformación Lineal, e imagen de una transformación lineal

5.4 La Matriz De Transformación Lineal y representación matricial de una transformaciónlineal

5.5 Transformaciones Y Sistemas Ecuaciones Lineales

5.6 Algebra De Transformaciones Lineales

5.7 Aplicaciones Transformaciones Lineales

Introducción

Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.
Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar ymultiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Mas adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.

Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espaciosvectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.

Estudiaremos las propiedades de las transformacioneslineales, sus diferentes tipos, así como la imagen, el núcleo, y como se desarrolla en las ecuaciones lineales.

UNIDAD 5. Transformaciones lineales

5.1 Definición de transformación lineal y sus propiedades

Definición.   Sean  V  y  W  espacios vectoriales sobre el mismo campo k. Una transformación lineal  de V  en  W, es una función  [pic][pic] tal que:
i)   [pic][pic], [pic][pic].
           ii)   [pic][pic],  [pic][pic],  [pic][pic].
En otras palabras, una transformación lineal es una función que respeta las operaciones definidas en los espacios vectoriales: “abre sumas y saca escalares”.
Observaciones:
i) Si  [pic][pic] es una transformación lineal, entonces  [pic][pic].
En efecto [pic][pic]. Por la ley de la cancelación en W, tenemos que [pic][pic].
Nóteseque en realidad solo se usa la propiedad aditiva  (i) de T. Este hecho lo usamos en el siguiente inciso.
ii) [pic][pic] es lineal si y solo si [pic][pic], [pic][pic], [pic][pic].
Si T lineal, entonces[pic][pic]. Inversamente, supongamos que [pic][pic], [pic][pic], [pic][pic]. Probemos las dos condiciones para que  T  sea lineal:
a)    [pic][pic].
b)   [pic][pic]
Nótese que usamos el hechode que [pic][pic], lo cual es consecuencia del comentario hecho al final del inciso (i).
iii)  [pic][pic] es lineal si y solo si [pic][pic]
[pic][pic],  [pic][pic].
La demostración se hace por inducción sobre n.
a)      Si  [pic][pic], entonces  [pic][pic], por la condición  (ii) de T.
b)      Supongamos válido para n. Probemos para [pic][pic]:
Por la condición (i) de T, tenemosque, [pic][pic]Y por hipótesis de inducción, tenemos que,
[pic][pic] 
Así que podemos concluir que,
[pic][pic]
Este último inciso se puede abreviar usando la notación sigma como sigue:
[pic][pic]
Veamos algunos ejemplos de transformaciones lineales, donde haremos uso extenso de la observación  (ii) de arriba.
Ejemplo 1. 
Sea  [pic][pic] tal que  [pic][pic],  [pic][pic]. Entonces  T eslineal,  ya que [pic][pic], y  por otro lado, [pic][pic]. Por lo tanto, vemos que [pic][pic].
Esta transformación recibe el nombre de la transformación cero y se denota como [pic][pic].
Ejemplo 2.
Sea  [pic][pic]  tal que [pic][pic], [pic][pic]. Entonces  T es lineal, ya que  [pic][pic].
Esta transformación recibe el nombre de la transformación identidad de V en V, y se denota como [pic][pic]....