Transformaciones Lineales

Profesor Hernando Guzmán
2012
Transformaciones lineales
Algebra lineal
Estefany Torres CI: 21.038.304
Universidad del Zulia, Facultad Experimental de Ciencias
Profesor Hernando Guzmán
2012
Transformaciones lineales
Algebra lineal
Estefany Torres CI: 21.038.304
Universidad del Zulia, Facultad Experimental de Ciencias

Tabla de contenido
Introducción 3
Definición de TransformaciónLineal 4
Ejemplos 4
I. T: R3→R2; T(x,y,z) = (x,y) 4
II. T: R3→R2; T(x,y,z) = (0,y) 4
Transformación de Reflexión 5
Ejemplo 5
I. T: R2→R2; T(x,y) = (x,-y) 5
Transformación de rotación 6
Ejemplo 7
I. T: R2→R2 7
Propiedades de las Transformaciones lineales 7
Ejemplos 7
I. T: R3→R2; T(x,y,z) =( x-y+z,-2x+2y-2z) 7
II. T: R→R3 ; Tx =( 2x,-x,x) 7
Núcleo de unatransformación lineal 8
Ejemplos 8
I. T: R3→R2; T(x,y,z) = (x-y+z,-2x+2y-2z) 8
II. T: R3→R2; T(x,y,z) = (0,y) 8
Imagen de una transformación lineal 9
Ejemplos 9
I. T: R3→R2; T(x,y,z) = (x-y+z,-2x+2y-2z) 9
II. T: R3→R2; T(x,y,z) = (0,y) 9
Teorema: Si T:V→W es una transformación lineal entonces NuT e Im(T) son subespacios vectoriales de V y W 9
Nulidad y Rango de unatransformación lineal 10
Ejemplos 10
I. T: R3→R3 ; T(x,y,z) =( x,y,0) 10
II. T: R→R3 ; Tx = (2x,-x,x) 10
Representación matricial de una transformación lineal 11
Ejemplos 11
I. T: R2→R2; T(x,y) = (x+y,-x+y) 11
II. T: R2→R3; T(x,y) = (x+y,x-y,2x+3y) 11
Expansiones, Compresiones, Cortes y Reflexiones de transformaciones en R2 11
Expansiones a lo largo de los ejes X o Y 12Ejemplo 12
Compresión a lo largo de los ejes X o Y 13
Ejemplo 13
Reflexiones 13
Con respecto al eje x 13
Con respecto al eje y 13
Con respecto a la recta x=y 14
Ejemplo 14
Cortes 14
Ejemplo 15
Bibliografía 16

Introducción
Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y otras ramas de matemáticas, tienen una gran variedad de aplicacionesimportantes. Una de sus propiedades es que preservan las operaciones de los espacios vectoriales.
En el siguiente trabajo se definirá a las transformaciones lineales, sus tipos, propiedades y algunos teoremas sobre ellas.

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Definición de Transformación Lineal
Sean V y W espacios vectoriales reales, una transformación lineal T de V en W es unafunción que asigna a cada vector v ∈ V un vector único Tv ∈ W y que satisface para cada u y v en V y cada escalar α las siguientes condiciones:

Tu+v=Tu+Tv
Y
Tαv=αTv

Ejemplos
I. T: R3→R2; Txyz = xy
Tx1y1z1+x2y2z2=Tx1+x2y1+y2z1+z2=x1+x2y1+y2=x1y1+x2y2=Tx1y1z1+Tx2y2z2
Tαxyz= Tαxαyαz=αxαy=αxy=α Txyz

II. T: R3→R2; Txyz = 0yTx1y1z1+x2y2z2=Tx1+x2y1+y2z1+z2=0y1+y2=0y1+0y2=Tx1y1z1+Tx2y2z2
Tαxyz= Tαxαyαz=0αy=α0y=α Txyz

Transformación de Reflexión
Sea T:R2→R2 definida por Txy = -xy, entonces el vector T(v) será la reflexión con respecto al eje y del vector v. Es fácil verificar que T es lineal, en términos geométricos T toma un vector en R2 y lo refleja respecto al eje y.

Ejemplo
I. T: R2→R2; Txy = x-y

x
y
v
T(v)
x
y
v
T(v)

En este caso se refleja conrespecto al eje x
En este caso se refleja con respecto al eje x

Transformación de rotación
Una transformación de rotación gira un vector en un ángulo θ, por ejemplo un vector v=xy en el plano xy se rota en un ángulo θ en sentido contrario a las manecillas del reloj, llamemos a este nuevo vector v'=x'y' entonces, como se ve en la figura la longitud de v, denotada por r no cambia
x=rcosαy=rsen
x'=rcos(α+θ) y'=rsen(α+θ)

Pero x'=rcosα+θ=rcosαcosθ-rsenαsenθ=xcosθ-ysenθ
De igual forma y'=rsenα+θ=rcosαsenθ+rsenαcosθ=xsenθ+ycosθ
Quedando

x=rcosα y=rsen
x'=xcosθ-ysenθ y'=xsenθ+ycosθ

Sea Aθ=cosθ -senθsenθ cosθ se ve claramente que Aθxy=x'y'. Entonces la transformación lineal T:R2→R2 definida por Txy=Aθxy se llama...