Transformaciones

2 Transformaciones en 3D
La manera más fácil de conseguir las transformaciones básicas (traslación, rotación, escalación, en general las transformaciones afines) es utilizando matrices de transformación. Con ligeros cambios a las matrices, se pueden combinar para conseguir que una sola matriz resultante nos sirva para varias de estas transformaciones. El utilizar coordenadas homogéneas nosayudará a obtener este efecto. Comenzaremos explicando cómo se utilizan para conseguir transformaciones en 2 dimensiones y, posteriormente, veremos las transformaciones en 3 dimensiones. 2.1 Coordenadas homogéneas1 Nos será útil sustituír las coordenadas (x, y) por las coordenadas (xh, yh, h), llamadas coordenadas homogéneas, donde x = xh/h, de donde (xh, yh, h) = (h . x, h . y, h)
(2.2)

y = yh/h(2.1)

Existe un número finito de representaciones homogéneas equivalentes para cada punto de coordenadas (x, y) seleccionando un valor no cero para h. Por conveniencia, escogeremos h = 1, con lo que cada posición bidimensional se representará con las coordenadas homogéneas (x, y, 1). Expresar posiciones en coordenadas homogéneas nos permite representar todas las ecuaciones de transformacióngeométrica como multiplicaciones de matriz. Se representan las coordenadas con vectores de columna de 3 elementos y las operaciones de transformación se expresan como matrices de 3 por 3. Para la traslación de un punto (x, y, 1) una distancia tx en x y una distancia ty en y, obtenemos: x' y’ 1 2.2 Transformaciones compuestas Esta representación nos permite “combinar” varias transformaciones en una,multiplicando las diferentes matrices de transformación, por ejemplo, el efecto de trasladar un objeto cierta distancia T (tx1, ty1), girarlo un cierto ángulo R(θ) y volverlo a = 1 0 tx 0 1 ty 0 0 1 x . y 1
(2.3)

1

En matemáticas, se utiliza el término coordenadas homogéneas para referirse al efecto de esta representación de ecuaciones cartesianas. Cuando se convierte un punto cartesiano(x, y) a una representación homogénea (xh, yh, h) las ecuaciones que contienen x, y se convierten en ecuaciones homogéneas de tres parámetros xh, yh y h. Esto significa que si se sustituye cada uno de los 3 parámetros con cualquier valor v veces ese parámetro, el valor v se puede factorizar fuera de las ecuaciones.

trasladar a su posición inicial T2 (-tx1, -ty1), se consigue multiplicando cadauno de sus puntos P (x, y, 1) de la manera siguiente: P’ = T . R . T2 . P
(2.4)

donde P’ es el vector columna que representará al punto resultante y T, R y T2 son las

matrices de transformación correspondientes 1 0 tx T = 0 1 ty 0 0 1

cos θ - sen θ R = sen θ cos θ 0 0

0 0 1

T2 =

1 0 -tx 0 1 -ty 0 0 1

(2.5)

Lo que sería lo mismo que multiplicar al punto P por la matriz Mobtenida el combinar las tres matrices M = T2 . R . T M = cos θ sen θ 0 -sen θ cos θ 0
(2.6)

tx(1 – cos θ) + ty sen θ ty (1 – cos θ) – tx sen θ 1

(2.7)

2.3 Matrices de transformación en 3D más comunes 2.3.1 Traslación En la representación homogénea tridimensional de las coordenadas, se traslada un punto de la posición P = (x, y, z) a la posición P’ = (x’, y’, z’) con la operación de matrizP’ = T x P
(2.8)

donde P y P’ son vectores columna como matrices, la matriz T = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 tx 0 ty 1 tz 0 1

y tx, ty y tz especifican las distancias de traslación en x, y y z x’ = x + tx y’ = y + ty z’ = z + tz 2.3.2 Rotación Para generar una transformación de rotación, debemos designar un eje de rotación respecto del cual girará el objeto, y la cantidad de rotación angular, esdecir, un ángulo (θ).

Una rotación tridimensional se puede especificar alrededor de cualquier línea en el espacio. Los ejes de rotación más fáciles de manejar son aquellos paralelos a los ejes de coordenadas. Los ángulos de rotación positiva producen giros en el sentido opuesto a las manecillas del reloj con respecto al eje de una coordenada, si el observador se encuentra viendo a lo largo de la...