Transformada de fourier en matlab

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Ingeniería civil informática

Transformada de Fourier en Matlab
Laboratorio nº 2

Introducción

El análisis espectral de señales continuas y no periódicas se puede llevar a cabo usando la transformada de Fourier. El espectro de este tipo de señales resulta ser continuo y no periódico. Existe una relación entre las formas de señal y de espectros que es importante visualizar con la ayuda deherramientas computacionales como Matlab. Las aplicaciones de la transformada de Fourier son múltiples desde sistemas de comunicaciones hasta procesamiento de audio. En el caso de que las señales sean periódicas y discretas la transformada de Fourier no es útil. En este casi se utiliza la transformada discreta de Fourier, DFT. El espectro de la DFT resulta ser discreto y periódico. La DFT resultaser muy utilizada en sistemas digitales y procesamiento de imágenes. Es importante saber seleccionar la frecuencia de muestreo según el teorema fundamental de muestreo de Nyquist-Shanon, con el fin de evitar fenómenos como el aliasing. Como finalidad se comprenderán los comportamientos de las señales ya sea en su nivel de tiempo, como en su frecuencia.

[2]

Objetivos
Comprender elcomportamiento de las señales tanto a nivel temporal como de frecuencia. Graficar en Matlab la transformada de Fourier de una función y compararla con su representación en serie de Fourier, tanto en el plano espectral como temporal.

[3]

Taller 2

Marco Teórico

Series de Fourier Las series de Fourier permiten representar funciones periódicas mediante combinaciones de senos y cosenos (serietrigonométrica de Fourier) o de exponenciales (forma compleja de la serie de Fourier). Si f es una función periódica de período 2T seccionalmente continua, admite la siguiente representación en los puntos de continuidad.

La transformada de Fourier se emplea con señales aperiódicas, a diferencia de la Serie de Fourier. Las condiciones para poder obtener la transformada de Fourier son:  Que la señalsea absolutamente integrable, es decir:

 

Que tenga un grado de oscilación finito. Que tenga un número máximo de discontinuidades.

Con la invención de la función delta(t) a principios de este siglo es posible calcular la transformada de Fourier de una señal periódica: Sabiendo que

[4]

Taller 2

Y que la transformada de Fourier tiene la propiedad de dualidad:

Obtenemos que Deesta forma, podemos calcular la transformada de Fourier de cualquier señal periódica x(t) de potencia media finita, esto es:

Ya que

Luego para una x(t) periódica se cumple que:

[5]

Taller 2

Descripción de la Experiencia
En esta experiencia de laboratorio se comenzó con una explicación de las señales que se podían representar a través de la serie de Fourier. Posteriormente se diouna función, de la cual hubo que visualizar mediante la transformada de Fourier y la serie de Fourier buscada para el cual se utilizó el programa computacional Matlab. Una vez obtenidos los gráficos de las señales se procedió a compararlas en su plano espectral y temporal. La función que se utilizo fue:

Desarrollo de la serie de Fourier buscada: Los coeficientes son:

a n   t cos ntdt
2 02

por partes 



2nt cos(nt )  2sen(nt )  n 2 2 t 2 sen(nt )  n 3 3 0

2


2

4n cos(2n )  2sen(2n )  4n 2 2 sen(2n ) 4  2 2 3 3 n n
2 2

2ntsen (2n )  2 cos(nt )  n 2 2 t 2 cos(nt ) bn   t senntdt   0 n 3 3 0 4nsen(2n )  2 cos(2n )  4n 2 2 cos(2n ) 2 1  3 3  3 3 n n n
El coeficiente a0 debemos calcularlo por separado, dado quela forma de an obtenida arriba no está definida para n = 0. Calculamos, así:
t3 a0   t cos 0tdt  0 3
2 2 2


0

8 3

De esa forma, la serie de Fourier buscada será:
f (t )  4   4 4     2 2 cos nt  sennt  3 n1  n  n 
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Taller 2

Representación de la serie de Fourier en Matlab

4   4 4  f (t )     2 2 cos nt  sennt  3 n 1  n  n 
Código para...
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