transformada de fourier
TABLAS
Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Propiedad
Señal
Transformada
ROC
x (t )
X(s)
R
x1 (t )
X1 (s )
R1
x 2 (t )
X 2 (s )
R2
ax1 ( t ) + bx 2 ( t )
aX1 (s) + bX 2 (s)
Al menos R1 ∩ R 2
Desplazamiento en el tiempo
x( t − t 0 )
e − st 0 X(s)
R
Desplazamientoen el dominio s
e s0 t x( t )
X( s − s 0 )
Versión desplazada de R
( es decir, s está en la ROC
si s-s0 está en R)
Escalado en el tiempo
x( at )
1 s
X
a a
ROC escalada (es decir, s
está en la ROC si s/a está
en R)
Conjugación
x * (t )
X * s*
R
Convolución
x 1 ( t )∗ x 2 ( t )
X1 (s) X 2 (s)
Al menos R1 ∩ R 2
Diferenciación en eldominio
del tiempo.
d x( t )
sX(s)
Al menos R
Diferenciación en el dominio s
−tx( t )
d
X(s)
ds
R
1
X(s)
s
Al menos
Linealidad
Integración en el dominio del
tiempo.
( )
dt
t
∫−∞
x( τ) dτ
R ∩ { Re{s} > 0}
Teoremas del valor inicial y final.
Si x (t ) = 0 para t < 0 y x (t ) no contiene impulsos o funciones singulares de orden superior en
t =0 , entonces
( )
x 0+ = Lim sX(s )
x →∞
Lim x (t ) = Lim sX (s )
t →∞
s→0
TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES ELEMENTALES
SEÑAL
TRANSFORMADA
ROC
δ( t )
1
Todo s
u( t )
1
s
Re{s} > 0
− u( − t )
1
s
Re{s} < 0
t n−1
u( t )
( n − 1) !
1
Re{s} > 0
t n−1
−
u( − t )
( n − 1) !
sn
Re{s} < 0
1
s
n
e −αt u( t )
Re{s} >−α
− e − αt u( − t )
1
s+α
Re{s} < −α
t n−1 − αt
e u( t )
( n − 1) !
−
1
s+α
1
Re{s} > −α
t n−1 − αt
e u( − t )
( n − 1) !
(s + α ) n
Re{s} < −α
1
(s + α )
n
δ( t − T)
e − sT
Para todo s
[ cosω 0 t ]u( t )
s
Re{s} > 0
[sen ω 0 t ]u( t )
[e
−αt
[e
−αt
]
cos ω 0 t u( t )
]
sen ω 0 t u( t )
d n δ(t )
u n (t) =
dt n
u − n (t ) = u (t ) *
* u (t )
n veces
s2 + ω 2
0
Re{s} > 0
ω0
s2 + ω 2
0
s+α
(s + α )
2
Re{s} > −α
+ ω2
0
ω0
Re{s} > −α
(s + α ) 2 + ω 2
0
sn
Para todo s
1
sn
Re{s} > 0
PROPIEDADES DE LA SERIE CONTINUA DE FOURIER
Propiedad
Señal Periódica
Coeficientes de la serie
x (t )
Periódicas de periodo T y
y(t )
frecuenciafundamental ω0 = 2π T
x (t ) T
Obtención de coeficientes
=
∞
∑ a k e jkω t
0
ak
bk
ak =
k = −∞
1
x (t )e − jkω0 t dt
T ∫T
2 T2
x (t ) cos(kω0 t ) dt
T ∫0
x(t) Señal par
ak =
x(t) Señal impar
ak = −
2j T 2
x (t ) sen (kω0 t ) dt
T ∫0
A x (t ) + B y(t )
A a k +B b k
Desplazamiento en el tiempo
x (t − t 0 )
a k e − jkω0 t 0
Desplazamientoen frecuencia
x (t ) e jMω0 t
a k −M
Conjugación
x * (t )
a∗k
−
Inversión de tiempo
x (− t )
a −k
x (αt ), α > 0 (Periódica de periodo T/α)
ak
∫T x (τ) y(t − τ)dτ
T a k bk
Linealidad
Escalamiento en el tiempo
Convolución periódica
x (t ) y (t )
Multiplicación
∞
∑ a p b k −p
p = −∞
dx (t )
dt
Diferenciación
Integración
∫−∞ x (τ)dτ
t
(de valor finito y periódica
solo si a 0 = 0 )
Simetría conjugada para
señales reales.
Señal real y par
Señal real e impar
x (t ) Señal real
jkω0 a k
1
ak
jkω0
a k = a ∗ k
−
R e [a k ] = R e [a − k ]
I m [a k ] = − I m [a − k ]
a = a
−k
k
ϕ [a k ] = −ϕ [a − k ]
x(t) real y par
ak real y par
x(t) real e impar
ak imaginaria e impar
Relaciónde Parseval para señales periódicas
∞
1
2
2
Pm [x (t )] = ∫ x (t ) dt = ∑ a k
T
T
k = −∞
COEFICIENTES DEL DESARROLLO EN SERIE DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
SEÑAL PERIÓDICA
x (t ) =
+∞
∑ a k e jkω t
COEFICIENTES
ak
0
k = −∞
x (t ) =e jω0 t
1 ∀ k = 1
ak =
0 ∀ k ≠ 1
cos ω0 t
a 1 = a −1 =
sen ω0 t
a 1 = −a −1 =
x (t ) = 1
a 0 = 1 ; a...
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