transformada de fourier

Páginas: 10 (2477 palabras) Publicado: 21 de mayo de 2013
SISTEMAS LINEALES

TABLAS

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Propiedad

Señal

Transformada

ROC

x (t )

X(s)

R

x1 (t )

X1 (s )

R1

x 2 (t )

X 2 (s )

R2

ax1 ( t ) + bx 2 ( t )

aX1 (s) + bX 2 (s)

Al menos R1 ∩ R 2

Desplazamiento en el tiempo

x( t − t 0 )

e − st 0 X(s)

R

Desplazamientoen el dominio s

e s0 t x( t )

X( s − s 0 )

Versión desplazada de R
( es decir, s está en la ROC
si s-s0 está en R)

Escalado en el tiempo

x( at )

1  s
X 
a  a

ROC escalada (es decir, s
está en la ROC si s/a está
en R)

Conjugación

x * (t )

X * s*

R

Convolución

x 1 ( t )∗ x 2 ( t )

X1 (s) X 2 (s)

Al menos R1 ∩ R 2

Diferenciación en eldominio
del tiempo.

d x( t )

sX(s)

Al menos R

Diferenciación en el dominio s

−tx( t )

d
X(s)
ds

R

1
X(s)
s

Al menos

Linealidad

Integración en el dominio del
tiempo.

( )

dt

t

∫−∞

x( τ) dτ

R ∩ { Re{s} > 0}

Teoremas del valor inicial y final.

Si x (t ) = 0 para t < 0 y x (t ) no contiene impulsos o funciones singulares de orden superior en
t =0 , entonces

( )

x 0+ = Lim sX(s )
x →∞

Lim x (t ) = Lim sX (s )
t →∞

s→0

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES ELEMENTALES
SEÑAL

TRANSFORMADA

ROC

δ( t )

1

Todo s

u( t )

1
s

Re{s} > 0

− u( − t )

1
s

Re{s} < 0

t n−1
u( t )
( n − 1) !

1

Re{s} > 0

t n−1

u( − t )
( n − 1) !

sn
Re{s} < 0

1
s

n

e −αt u( t )

Re{s} >−α

− e − αt u( − t )

1
s+α

Re{s} < −α

t n−1 − αt
e u( t )
( n − 1) !


1
s+α

1

Re{s} > −α

t n−1 − αt
e u( − t )
( n − 1) !

(s + α ) n
Re{s} < −α

1

(s + α )

n

δ( t − T)

e − sT

Para todo s

[ cosω 0 t ]u( t )

s

Re{s} > 0

[sen ω 0 t ]u( t )

[e

−αt

[e

−αt

]

cos ω 0 t u( t )

]

sen ω 0 t u( t )

d n δ(t )
u n (t) =
dt n
u − n (t ) = u (t ) *

* u (t )

n veces

s2 + ω 2
0
Re{s} > 0

ω0
s2 + ω 2
0
s+α

(s + α )

2

Re{s} > −α

+ ω2
0

ω0

Re{s} > −α

(s + α ) 2 + ω 2
0
sn

Para todo s

1
sn

Re{s} > 0

PROPIEDADES DE LA SERIE CONTINUA DE FOURIER
Propiedad
Señal Periódica
Coeficientes de la serie

x (t )
 Periódicas de periodo T y
y(t )
frecuenciafundamental ω0 = 2π T
x (t ) T
Obtención de coeficientes

=



∑ a k e jkω t
0

ak
bk

ak =

k = −∞

1
x (t )e − jkω0 t dt
T ∫T

2 T2
x (t ) cos(kω0 t ) dt
T ∫0

x(t) Señal par

ak =

x(t) Señal impar

ak = −

2j T 2
x (t ) sen (kω0 t ) dt
T ∫0

A x (t ) + B y(t )

A a k +B b k

Desplazamiento en el tiempo

x (t − t 0 )

a k e − jkω0 t 0

Desplazamientoen frecuencia

x (t ) e jMω0 t

a k −M

Conjugación

x * (t )

a∗k


Inversión de tiempo

x (− t )

a −k

x (αt ), α > 0 (Periódica de periodo T/α)

ak

∫T x (τ) y(t − τ)dτ

T a k bk

Linealidad

Escalamiento en el tiempo
Convolución periódica

x (t ) y (t )

Multiplicación



∑ a p b k −p

p = −∞

dx (t )
dt

Diferenciación
Integración

∫−∞ x (τ)dτ
t

(de valor finito y periódica
solo si a 0 = 0 )

Simetría conjugada para
señales reales.
Señal real y par
Señal real e impar

x (t ) Señal real

jkω0 a k

1
ak
jkω0
a k = a ∗ k


R e [a k ] = R e [a − k ]


I m [a k ] = − I m [a − k ]
a = a
−k
 k
ϕ [a k ] = −ϕ [a − k ]


x(t) real y par
ak real y par
x(t) real e impar
ak imaginaria e impar
Relaciónde Parseval para señales periódicas

1
2
2
Pm [x (t )] = ∫ x (t ) dt = ∑ a k
T
T
k = −∞

COEFICIENTES DEL DESARROLLO EN SERIE DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
SEÑAL PERIÓDICA

x (t ) =

+∞

∑ a k e jkω t

COEFICIENTES

ak

0

k = −∞

x (t ) =e jω0 t

1 ∀ k = 1
ak = 
0 ∀ k ≠ 1

cos ω0 t

a 1 = a −1 =

sen ω0 t

a 1 = −a −1 =

x (t ) = 1

a 0 = 1 ; a...
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