Transformada de la place

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GUIA 7

La transformada de Laplace
1. Concepto de la transformada de Laplace

Definici´n. Una funci´n u(t) definida en 0 ≤ t < ∞ tiene transformada de o o ∞ Laplace si existe un real a > 0 tal que la integral 0 e−st u(t) dt converge para s > a. En este caso, la transformada de Laplace de la funci´n u es la funci´n u definida en o o ˆ el intervalo a < s < ∞ cuyo valor en cada s est´ dado por a∞

u(s) = ˆ
0

e−st u(t) dt.

(1)

A veces conviene denotar la transformada de Laplace u de u mediante L {u}. ˆ ∞ −st Recu´rdese que la integral impropia 0 e u(t) dt converge si la integral finita e B −st B e u(t) dt existe para todo B > 0 y si l´ B→∞ 0 e−st u(t) dt existe y es finito. ım 0 Entonces, por definici´n, o
∞ 0

e−st u(t) dt = l´ ım

B 0

B→∞

e−st u(t) dt

Ejemplos.(Funci´n constante). La funci´n constante u(t) = 1 tiene transformada de Laplace o o u(s) = 1 definida en 0 < s < ∞. En efecto, ˆ s


u(s) = ˆ
0

e−st dt = l´ ım

B 0

B→∞

e−st dt = l´ (− ım
B→∞ ∞

e−sB 1 1 + )= , s s s

para 0 < s < ∞. Se observa que la integral 0 e−st dt diverge para s ≤ 0. (Funci´n exponencial). La funci´n u(t) = eat tiene transformada de Laplace o o 1 u(s) = s−adefinida en a < s < ∞ . En este caso, ˆ


u(s) = ˆ
0

e

−st at

∞ 0

e dt =

e(a−s)t dt =

1 s−a

para s > a.

(Funci´n tn , n > 0 entero). La funci´n u(t) = tn (n > 0 entero) tiene transformada o o n! de Laplace u(s) = sn+1 definida en 0 < s < ∞. ˆ Primero, para n = 1, integrando por partes obtenemos


L {t} =
0

t t e−st dt = l´ (− e−st ım B→∞ s 1

t=B t=0

)+

1s

∞ 0

e−st dt =

1 s2

para 0 < s < ∞. Para n > 1, la integraci´n por partes da o L {tn } =
0 ∞

tn e−st dt = l´ (− ım
B→∞

tn −st e s

t=B t=0

).

n ∞ n−1 −st n t e dt = L tn−1 . s 0 s Y aplicando esto repetidamente, obtenemos + L {tn } = = ··· = para 0 < s < ∞. (Funciones seno y coseno). Se tiene L {cos at} = s2 s , + a2 L {sen at} = s2 a + a2 n n(n − 1) L tn−1 = L tn−2s s2

n! n(n − 1)(n − 2) . . . 1 L {1} = n+1 sn s

para 0 < s < ∞, donde a = 0. Integrando por partes obtenemos L {cos a t} = 1 e−s t cos a t dt = e−s t sen a t t=∞ t=0 a 0 s s ∞ −s t e sen a t dt = L {sen a t} . + a 0 a
∞ ∞

(2)

Y volviendo a integrar por partes, L {sen a t} = 1 e−s t sen a t dt = − e−st cos at t=∞ t=0 a 0 1 s s ∞ −s t − e cos a t dt = − L {cos a t} . a 0 a a

1 s2 −L {sen a t} a a2 De aqu´ se obtiene la expresi´n para L{sen a t} y de (2) se obtiene la expresi´n para ı o o L {cos a t}. (Funci´n de Heaviside). La funci´n escal´n de Heaviside o salto unitario es la o o o funci´n H definida para todo t, −∞ < t < ∞, por o L {sen a t} = H(t) = 0, t < 0 1, t ≥ 0 2

Luego

1

a

t

Figura 1: Funci´n de Heaviside de salto unitario o

La funci´n saltounitario en a es la translaci´n H(t − a) de H (v´ase figura 1): o o e H(t − a) = Para a > 0 y 0 < s < ∞, se tiene


0, t < a 1, t ≥ a

L{H(t − a)} =
a

e−st dt =


e−as . s

En general L{H(t − a) u(t − a)} =
a ∞

e−st u(t − a) dt

=
0

e−s(x+a) u(x) dx = e−as L {u} .

Es decir, L{H(t − a) u(t − a)} = e−as L {u} , para a > 0, 0 < s < ∞. (Una funci´n sin transformada de Laplace).La funci´n u(t) = et no tiene transo o formada de Laplace. Pues la integral
∞ 0
2

e−st et dt =
0

2



e− 4 e(t− 2 ) dt

s2

s 2

diverge para todo s. ¿Para cu´les funciones u(t) existe la transformada de la Laplace? Los ejemplos a anteriores sugieren el siguiente criterio: o o Teorema 1 (Criterio de Existencia). Sup´ngase que u(t) es una funci´n definida en 0 ≤ t < ∞ quesatisface las siguientes condiciones: 3

L1 Cada intervalo finito [0, B] se puede dividir en un n´mero finito de intervalos u [b0 , b1 ] = [0, b1 ], [b1 , b2 ] , . . . [bn−1 , bn ] = [bn−1 , B] tales que u(t) es continua en ( bk−1 , bk ) y l´ t→b+ u(t), l´ t→b− u(t) existen y son finitos. ım ım
k−1 k

L2 Existen constantes, a real y M > 0 ,tales que |u(t)| ≤ M eat para 0 ≤ t < ∞.

Entonces u(t)...
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