Transformada de la place

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LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

PROPIEDAD DE LINEALIDAD

La diferenciación y la integración transforman una función en otra función; por ejemplo, la f(x) = x2se transforma, respectivamente, en una función lineal y en una familia de funciones polinomiales cúbicas, lo mismo que mediante las operaciones de diferenciación e integración: d x2 = 2x y ( x2 dx = x3 + c.Esas dos
dx
transformaciones poseen la propiedad de linealidad, consistente en que la transformada de una combinación lineal de funciones es una combinación lineal de las transformadas. Para cualesquiera constantes ( y (

d [( f (x) + (g(x)] = ( f’(x) + ( g’(x)dx
y
( [( f(x) + ( g(x)] dx = ( ( f (x) dx + ( ( g(x) dx,

siempre y cuando existan cada derivada e integral. Examinaremos un tipo especial de integral llamada transformada de Laplace, que posee la propiedad de linealidad y tiene muchas otras propiedades interesantes que la hacen muy útil para resolver problemas de valor inicial lineales.

TRANSFORMADA LINEAL

Si f(x ,y) es unafunción de dos variables, una integral definida de f con respecto a una de las variables produce una función de la otra variable; por ejemplo, al mantener y constante, ( 2xy2 dx = 3y2. De igual forma, una integral definida como ( K(s, t) f(t) dt transforma una función f en la variable t en una función F de la variable s. Estamos particularmente interesados en una transformación integral,donde el intervalo de integración es el intervalo no acotado [0,(). Si f(t) esta definida para t ( 0, entonces la integral impropia ( K(s, t) f(t) dt se define como un límite:

∫ K(s, t) f(t) dt = limb ( K(s, t) f(t) dt.
b((

Si existe el límite, se dice que la integral es convergente; si no existe el límite, la integral no existe, y se dice que es divergente. En general, ellímite anterior se da sólo para ciertos valores de la variable s. La elección K(s, t) = e-st proporciona una transformación integral muy importante.

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

|Sea f una función definida para t ( 0. Entonces la integral |
||
|L {f(t) } = ( e-st f(t) dt |
| |
||
|se llama transformada de Laplace de f, siempre y cuando la integral converja. Cuando la integral definitoria converge, el resultado es|
|una función de s. |

L es una transformación lineal. Para una suma defunciones se puede escribir

( e-st [(f(t) + (g(t)] dt = ( ( e-st f(t)dt + ( ( e-stg(t)dt.

siempre que las dos integrales converjan para s > c; por consiguiente,

L {( f(t) + (g (t)} = ( L { f(t)} + ( L {g(t)} = (F(s) + (G(s).

Por esta propiedad, se dice que L es una transformación lineal.

TEOREMA 1: Transformadas de algunas funciones básicas.

| (a) L {1} = 1(e) L {cos kt} = s _ |
|s s2 + k2 |
| |
|(b)L {tn} = n , n = 1, 2, 3,......
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