Transformada de la place

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CAPÍTULO

6
La transformada de Laplace

6.6 Aplicaciones
Ejemplo 6.6.1 Consideremos un sistema masa-resorte con m D 2 kg, c D 4 N m/s y k D 10 N/m. Supongamos que el sistema está inicialmente en reposo y en equilibrio por lo cual x.0/ D x 0 .0/ D 0 y que la masa es impulsada por una fuerza de excitación f .t/ cuya gráfica se muestra en la figura siguiente. Encontrar la posición de la masa encualquier instante. f .t /
2 t
  ¡¢

H

La posición x.t/ de la masa m está dada por la solución del PVI: 2x 00 .t/ C 4x 0 .t/ C 10x.t/ D f .t/ D 10; 0; si Ä t < 2 ; con si t … Œ ; 2 / / 10e u.t
2 s s

La función f .t/ puede escribirse como f .t/ D 10Œu.t tenemos: F .s/ D Lf f .t/g D sx.0/

s Ahora, tomamos TL en ambos miembros de la ED para obtener: 2Œs 2 X.s/
1. canek.azc.uam.mx: 24/9/ 2010

x 0 .0/ C 4ŒsX.s/

x.0/ C 10X.s/ D F .s/:

1

¡¢

 

10

x.0/ D x 0 .0/ D 0:

2 /; entonces por la linealidad de la TL 10e s :

2

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Al considerar las condiciones iniciales y la expresión de F .s/, tenemos que: 2s 2X.s/ C 4sX.s/ C 10X.s/ D ) 2.s 2 C 2s C 5/X.s/ D ) X.s/ D 5e 2 s s.s 2 C 2s C 5/ 10e s 10e s
2 s 2 s

10e s 10es

s

)
s

)

Por lo tanto, para encontrar x.t/, lo único que resta es obtener la transformada inversa de Laplace. En primer lugar, por la primera propiedad de traslación, se tiene que

5e s : s.s 2 C 2s C 5/

L

1

s2

1 DL C 2s C 5
1

1

Luego, calculamos L

s.s 2

1 utilizando la propiedad de la transformada de una integral: C 2s C 5/
t 0

1 1 D L .s C 1/2 C 4 21

2 1 D e .s C 1/2 C 4 2

t

sen 2t:

L

1

1 t 1 e Œ2 cos 2t C sen 2t: 5 10 Finalmente, al utilizar la segunda propiedad de traslación y la periodicidad de las funciones seno y coseno, determinamos que D x.t/ D 5L D 1
1

1 D 2 C 2s C 5/ s.s

1 e 2

u

sen 2u du D

1 e 10

t u

.2 cos 2u C sen 2u/

0

D

1 e 2

e 2 s 2 C 2s C 5/ s.s
.t 2 /

5L

1

e sD s.s 2 C 2s C 5/ 4 / u.t 2 / /D
/

Œ2 cos.2t
.t /

4 / C sen.2t

1 D 1 1 e 2

1 e 2

Œ2 cos.2t

2 / C sen.2t 2 /

2 / u.t 1 1 e 2
.t

.t 2 /

Œ2 cos 2t C sen 2t u.t

Œ2 cos 2t C sen 2t u.t

/:

Podemos apreciar, en la gráfica de la función posición x.t/, que presentamos a continuación, la excitación que sobre el sistema tiene la función f .t/ en el intervalo Œ ; 2 .Advierta que, después de que la fuerza cesa, el sistema tiende al reposo por efecto de la fuerza de amortiguamiento.
x.t /

2 t
£ £

Ejemplo 6.6.2 Calcular la corriente en un circuito en serie RLC cuyos componentes son: un resistor de 2 , un inductor de 1 H, un capacitor de 1 F y una fuente de voltaje que suministra (en voltios):  t; si 0 Ä t < 1I  V .t/ D 2 t; si 1 Ä t Ä 2I   0; si t> 2:

6.6 Aplicaciones (Éste es el ejemplo ?? de la introducción.) H Aplicando los valores L, R, y C en la ED del circuito: L dI 1 C RI C Q D V .t/; dt C

3

obtenemos la ecuación integro-diferencial, suponiendo corriente inicial nula: dI C 2I C dt
t 0

I.t/dt D V .t/;

con

I.0/ D 0:

Calculamos la TL de la función de voltaje. Lo primero que observamos es que V .t/ D t C .2 2t/u.t1/ C .t 2/u.t 2/ D t 2.t 1/u.t 1/ C .t 2/u.t 2/:

Por lo tanto, por la segunda propiedad de traslación,

LfV .t/g D

1 s2

2

e s e 2s e C 2 D 2 s s

2s

2e s2

s

C1

:

Si aplicamos TL en ambos miembros de la ecuación integro-diferencial, utilizando las propiedades requeridas (transformada de una derivada y de una integral), encontramos: Q s I .s/ Q I.0/ C 2I .s/ C Q I .s/e D s
2s

2e s2

s

C1

, donde I.t/

Q ! I .s/:

Ahora, utilizando I.0/ D 0, y multiplicando ambos miembros de la ecuación anterior por s, hallamos: Q Q Q s 2 I .s/ C 2s I .s/ C I .s/ D e
2s

2e s

s

C1

Q ) I .s/ D

e

2s

2e s C 1 : s.s C 1/2

Todo lo que resta es el cálculo de la transformada inversa. Procedemos de la siguiente manera. 1 Primero, aplicamos...
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