transformada de la place

 Transformada De Laplace

Es un procedimiento desarrollado por el matemático y astrónomo francés Pierre Simón Marques de Laplace (1749 - 1827) que permite cambiar funciones de la variable del tiempo t a una función de la variable complejas.
Las características fundamentales de la transformada de Laplace son:
Es un método operacional que puede usarse para resolverecuaciones diferenciales lineales.
Las funciones senoidales, senoidales amortiguadas y exponenciales se pueden convertir en funciones algebraicas lineales en la variable S.
Sirve para reemplazar operaciones como derivación e integración, por operaciones algebraicas en el plano complejo de la variable S.
Este método permite usar técnicas gráficas para predecir el funcionamiento de un sistema sinnecesidad de resolver el sistema de ecuaciones diferenciales correspondiente.

La transforma de laplace de una función f(t) definida (en ecuaciones diferenciales, o en análisis matemático o en análisis funcional) para todos los números positivos t ≥ 0, es la función F(s), definida por:

Siempre y cuando la integral esté definida. Cuando f(t) no es una función, sino una distribución con unasingularidad en 0, la definición es

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).
 es llamadoel operador de la transformada de Laplace.


Aplicaciones y ventajas

La ventaja más significativa radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver.
Una aplicación importante en los sistemas lineales es el cálculo de la señal de salida. Ésta se puedecalcular mediante la convolución de la respuesta impulsiva del sistema con la señal de entrada. La realización de este cálculo en el espacio de Laplace convierte la convolución en una multiplicación, habitualmente más sencilla.
Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define comosigue:

La transformada de Laplace F ( s ) típicamente existe para todos los números reales s > a , donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f ( t )
La transformada de Laplace puede ser usada para resolver:
Ecuaciones Diferenciales
Lineales
Ecuaciones Integrales

Propiedades

Linealidad

Derivación



Integración

DualidadDesplazamiento de la frecuencia

Desplazamiento temporal


Desplazamiento potencia n-ésima

Convolución






Transformada de Laplace de una función con periodo p


Condiciones de convergencia
(que crece más rápido que  no pueden ser obtenidas por Laplace, ya que , es una función de orden exponencial de ángulos.

Teorema del valor inicial
Sea una función  derivable a trozos yque  Entonces :

 es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.

Teorema del valor final
Sea una función derivable a trozos tal que .Entonces :

 es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.
Tabla










Aplicación de laplace en Ingenieria

Control de Procesos
En nuestra vida diaria existen numerososobjetivos que necesitan cumplirse.
En el ámbito doméstico: Controlar la temperatura y humedad de casas y edificios.
En transportación Controlar que un auto o avión se muevan de un lugar a otro en forma segura y exacta.
En la industria Controlar un sinnúmero de variables en los procesos de manufactura
Control de Procesos En años recientes, los sistemas de control han asumido un papel cada vez...