Transformada de laplace - control automatico

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TRANSFORMADA DE LAPLACE

INTRODUCCIÓN.
La transformación de Laplace es un método que transforma una ecuación diferencial en una ecuación algebraica más fácil de resolver, por medio de la utilización de tablas. La utilización de la transformada de Laplace radica en que: para los sistemas cuyas funciones respecto al tiempo no son totalmente continuas sino que son continuas a trozos la soluciónes difícil de hallar, por ello la utilización de la misma. Es especialmente indicada para simplificar el proceso de resolver problemas de valor inicial, cuyas ecuaciones diferenciales sean lineales, y primordialmente cuando se incluyen funciones discontinuas.

DEFINICIONES Y TEOREMAS INICIALES.
Transformada de Laplace
Definición: Sea f(t) definida para t≥0 y la integral impropia:
0∞e-stftdtConvergente para s>0, entonces la transformada de Laplace se define como:
Fs=Lft=0∞e-stftdt
La transformada de Laplace es entonces una aplicación del espacio de las funciones reales f(t) sobre el espacio de las funciones complejas F(s)

Fig Nº1 Campos de aplicación de la transformación

Observación: - La transformada de Laplace también se extiende como aplicación de espacioscomplejos sobre espacios complejos.
Transformada de Laplace inversa
Definición: Si F(s) es la transformada de Laplace de f(t), entonces la transformada de Laplace inversa es:
ft=L-1Fs
Linealidad de la transformada de Laplace
Teorema: La transformada de Laplace es una operación lineal; es decir, para cualquiera funciones f(t) y g(t) cuya transformada de Laplace existan y cualquiera constantes a y b,Laft+bg(t)=aLft+bLgt
Existencia de la transformada
Teorema: Sea y una función definida en los dominios R+→R, una función continua a trozos y de orden exponencial, entonces la transformada e Laplace existe, es decir existe un numero s tal que
Fs=Lft
f(t)≤Mγt
Entonces la transformada de Laplace de f(t) existe para toda s > γ

DEFINICIONES, TEOREMAS Y PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS.Transformada de la derivada
Teorema: Sea f(t) continua para todo t≥0, y f(0) es el límite de f(t) cuando t tiende a cero, entonces la transformada de Laplace con respecto al tiempo de f(t) es:
Ldf(t)dt=sFs-limt→0f(t)=sFs-f(0)
Transformada de una derivada de orden n
Teorema: Sea f(t) y sus derivadas f'(t), f''(t), … f(n-1)(t) función continua para todo t≥0 que satisfacen el teorema de existenciapara alguna γ y M, y sea la derivada f(n)(t) continua por secciones para todo intercalo finito en el semieje t≥0 , entonces la transformada de Laplace de fnt existe cuando s> γ y esta dada por:
Lfnt=snFs-sn-1f0-sn-2f'0-…-f(n-1)(0)

Transformada de una integral
Teorema: Si f(t) es continua por secciones y satisface la existencia de la transformada, entonces
L0tf(t)dt=1sLf(t)
Para:s>0 y s> γ

Teorema del valor inicial
Teorema: Si la transformada de Laplace de f(t) es F(s), entonces:
limt→0f(t)=lims→∞sF(s)
Si el límite existe.

Teorema del valor final
Teorema: Si la transformada de Laplace de f(t) es F(s), y si sF(s) es analítica sobre el eje imaginario y semiplano derecho del plano s, entonces:
limt→∞f(t)=lims→0sF(s)
El teorema de valor final es útil para elanálisis y diseño de sistemas de control, ya que proporciona el valor final de una función de tiempo mediante el conocimiento del comportamiento de su transformada de Laplace en s=0, el teorema no es valido si sF(s) tiene algún polo cuya parte real es positiva o cero.
Primera traslación (traslación S)
Teorema: Si la transformada de Laplace de f(t) es F(s), entonces eatft tiene la transformadaF(s-a) donde s-a< γ , por tanto, si Fs=Lft , entonces:
Leatf(t)=F(s-a)
En consecuencia, si se conoce la transformada F(s) de f(t), se obtiene la transformada de eatft “haciendo una transformación sobre el eje s”

Fig Nº2 Traslación sobre el eje s

Segunda traslación (Traslación T)
Teorema: la transformada de Laplace de f(t) es F(s), entonces la función:
f=0 t<aft-a...
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