Transformada de laplace y transformada de fourier con matlab

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DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA
INGENIERÍA DE POTENCIA

Práctica II
“Transformada de Laplace y transformada de Fourier Continua”

Elaborado por:
Equipo 4
Gabriel Mejia Espinoza 06120824
Daniel Martín Mendoza Sánchez 06120825

Morelia, Michoacán a 5 de Octubre de 2010

1. OBJETIVO.
2.1. Familiarizarse con el comportamiento de la transformada de Laplace de funcioneselementales, además de identificar la respuesta en frecuencia en el plano de Fourier continuo.
2. INTRODUCCIÓN.
3.2. Una herramienta importante para el análisis de los sistemas es la transformada de Laplace. Al igual que la transformada de Fourier, nos permite analizar el comportamiento de un sistema en el dominio de la frecuencia, pero además proporciona un conocimiento de laestabilidad o inestabilidad de los sistemas. La transformada de Laplace se define en ec.1 y se puede observar que s= σ + jω es un número complejo, la salida Xs depende de dos variables que al graficarlas forman una superficie en tercera dimensión, donde los ejes X y Y son el eje real y el eje imaginario y el eje Z puede ser la magnitud o la fase de la señal transformada. Si se hace una “rebanada” de talsuperficie dando el valor de σ=0, entonces se obtiene el espectro de Fourier.
Xs= -∞+∞xte-stdt ec.1
3. MARCO TEÓRICO.
4.3. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.
La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellinentre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ED con coeficientes variables, en general se aplica a problemas concoeficientes constantes. Un requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ED. Su mayor ventaja sale a relucir cuando la función en la variable independiente que aparece en la ED es una función seccionada. 
Cuando se resuelven ED usando la técnica de la transformada, se cambia una ecuación diferencial en un problema algebraico. La metodología consiste en aplicar latransformada a la ED y posteriormente usar las propiedades de la transformada. El problema de ahora consiste en encontrar una función en la variable independiente tenga una cierta expresión como transformada.

4.4. DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.
Sea f una función definida para t≥0, la transformada de Laplace de f(t) se define como: 

 Lft= 0+∞e-stftdt ec.2Cuando tal integral converge
Notas:
* La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integración se considera constante.
* La transformada de Laplace convierte una función en t en una función en la variable s.
* Condiciones para la existencia de la transformada de una función:
* De orden exponencial
* Continua a trozos
4.5. SÍNTESIS ADITIVA
Reglas de laSíntesis Aditiva (o síntesis de Fourier):
* Sólo sinusoides pueden ser combinadas
* Las frecuencias de todas las sinusoides deben estar armónicamente relacionas
Sólo tenemos libertad para cada sinusoide en la elección de:
* Frecuencia fundamental
* Amplitud
* Fase
4.6. TRANSFORMADA CONTINÚA DE FOURIER

Xf= -∞∞xte-j2πftdtec.3
t: Tiempo
f: Frecuencia en Hz
xt: Señal de prueba
e-j2πft: Fasor de Sondeo (Kernel Function)
Xf: Espectro en función de la frecuencia f
x(t) ↔ X(f), es decir para una función x(t) existe un equivalente X(f).
X(f), el espectro, revela la fuerza (energía) de varias componentes de frecuencia, ordenadas por frecuencia.
La transformada de Fourier actúa como un detector de energía en...
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