Transformada de laplace

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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y CIENCIA DE LA COMPUTACIÓN

TRANSFORMADA DE LAPLACE Y ECUACIONES DE VOLTERRA

CÉSAR RENÉ FERNÁNDEZ RODRÍGUEZ

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INDICE
RESUMEN INTRODUCCION CAPÍTULO 1: TRANSFORMADA DE LAPLACE 1. 1 1. 2 1. 3 1. 4 1.5 INTRODUCCIÓN HISTÓRICA DEFINICIÓN Y EJEMPLOS BÁSICOS. CONDICIONES PARA LA EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA DELAPLACE. APLICACIONES A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES: TRANSFORMADAS DE LAPLACE PARA DERIVADAS DE UNA FUNCIÓN. MÁS APLICACIONES A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES: DERIVADAS E INTEGRALES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE. 3 4 6 6 8 14 23 35 49 49 52 56 66 78 78 80 94 106 111 112 114 116

CAPÍTULO 2: EL TEOREMA DE CONVOLUCIÓN 2. 1 2. 2 2. 3 2. 4 CONVOLUCIÓN. EL TEOREMA DE CONVOLUCIÓN. EL PROBLEMA MECÁNICODE ABEL Y LA CURVA TAUTÓCRONA. CONVOLUCIÓN: RESPUESTA DE UN SISTEMA A UN ESTÍMULO.

CAPÍTULO 3: ECUACIONES DE VOLTERRA 3. 1 3. 2 3. 3 3. 4 ECUACIONES INTEGRALES. ECUACIONES DE VOLTERRA DEL SEGUNDO TIPO. ECUACIONES DE VOLTERRA DEL PRIMER TIPO. INTEGRALES FRACCIONARIAS Y DERIVADAS FRACCIONARIAS.

REFERENCIAS ANEXO A: TABLA DE TRANSFORMADA DE LAPLACE. ANEXO B: FÓRMULAS RELATIVAS A LATRANSFORMADA DE LAPLACE. ANEXO C: TABLA DE ECUACIONES DE VOLTERRA.

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RESUMEN

El siguiente trabajo aborda principalmente dos grandes temas: la transformada de Laplace y sus aplicaciones a la resolución de ecuaciones diferenciales, y las ecuaciones integrales de Volterra. En ambos temas hay una gran cantidad de ejemplos resueltos que permiten entender mejor los métodos explicados.

En el capítuloacerca de la transformada de Laplace y posteriormente en el capítulo acerca del teorema de convolución, se ha tratado de ser bastante riguroso y completo al momento de presentar las definiciones, teoremas y sus demostraciones y ejemplos. Para los ejemplos se ha trabajado en base al libro de Ecuaciones Diferenciales de F. Simmons [7].

En el capítulo acerca de las ecuaciones de Volterra, además demostrar diferentes métodos, se ha dado una gran cantidad de ejemplos que se complementan con una extensa lista en el Anexo C.

Como aplicación de interés se ha tratado en detalle el Problema Mecánico de Abel y el problema de la curva tautócrona.

Al final del texto se encuentra una sección dedicada al cálculo fraccional, para mostrar qué rumbos puede tener una posterior investigación.

4INTRODUCCION
La Transformada de Laplace es un caso especial de lo que se denomina Transformación Integral. Su utilidad para resolver problemas físicos hace que sea, junto con la Transformada de Fourier, una de las herramientas más útiles para estos efectos.

En particular destaca su utilidad para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias como las que surgen al analizar, por ejemplo,circuitos electrónicos. El método de Laplace consiste en aplicar esta transformada a ecuaciones diferenciales de difícil resolución, convirtiéndolas así en problemas algebraicos simples, que pueden ser resueltos de manera sencilla. Este método se puede ilustrar con el siguiente esquema:
Ecuación Diferencial Ordinaria con valores iniciales

Transformada de Laplace

Problema Algebraico

difícilMuy fácil

Solución a la Ecuación Diferencial Ordinaria

Transformada Inversa

Solución al Problema Algebraico

El objetivo del método es que modificar el problema usando la transformada de Laplace y posteriormente usar la Transformada Inversa, sea más fácil que resolver la ecuación diferencial por métodos directos. Esto resulta particularmente útil cuando las funciones involucradas no soncontinuas.

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Para poder hacer efectivo este método se requiere de varios resultados previos.

En el Capítulo 1, junto con presentar la transformada de Laplace y utilizarla para obtener la transformada de funciones básicas, como las potencias o la función exponencial, estudiamos qué características debe tener una función para que exista su transformada.

Posteriormente, para poder...
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