Transformada de LaPlace


CONDICIONES SUFICIENTES DE EXISTENCIA PARA LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Material de apoyo
MATEMÁTICAS V

UNIDAD
NOMBRE
TEMAS Y SUBTEMAS
III
Transformadas de Laplace
3.2 Condicionessuficientes de existencia para la transformada de Laplace


3.2 Condiciones suficientes de existencia para la transformada de Laplace.


 
 Teorema [Existencia de la transformada]
 
Sea     unafunción continua a trozos y de orden exponencial, entonces la transformada de Laplace de existe. Es decir, existe un número tal que existe para .
Demostración
Por ser de orden exponencial existennúmeros no negativos , y tales que , para . Así que



 



La primera integral

es una integral definida, por tanto existe. Para la segunda integral note que



 


 


 Ahora, como

siempre y cuando , tenemos que la integral

existe y con ello la transformada.
 Observación: el teorema anterior enuncia una condición suficiente y no necesaria para la existenciade la transformada de Laplace, es decir, puede darse el caso de una función que no cumpla las hipótesis del teorema, pero aún así tenga transformada, como lo muestra el siguiente ejemplo.
 EjemploCompruebe que la transformada

existe, aún cuando no cumple las hipótesis del teorema de existencia anterior.
 Solución
Claramente tiene una discontinuidad infinita en , con lo cual no escontinua a trozos en el intervalo ; pero



 


 



Para calcular esta última integral sea

con lo cual

Ahora note que



 


 


 


Figura 1.4
Donde es el cuadrado delado , que se muestra en la figura 1.4 Observe que si y son las regiones que se muestran en la figura 1.4 entonces












Con lo cual, tomando el límite

Y así, . Por lo tantoEl siguiente ejemplo muestra una función para la cual no existe la transformada de Laplace.
 
Ejemplo
Compruebe que

no existe.
 
Solución
Usando la definición




 


Y...