Transformada De Laplace

INDICE
INTRODUCCIÓN pág. 02
I. OBJETIVOS pág.03
II. JUSTIFICACIÓN pág.03
III. DESARROLLO DEL TEMA: pág.04
1. Definición de la transformada de LAPLACE pág.04
2. Transformada inversa pág.07
3. Teoremas de traslación y derivadas de una transformada pág.12
4. Transformadas de derivadas, integrales y funciones periódicas pág.195. Delta de Dirac pág.23
6. Solución de ecuaciones lineales pág.26

INTRODUCCIÓN
En el siguiente trabajo vamos dar a conocer de forma breve y sencilla las diferentes aplicaciones de la Transformada de la place, como la demostración de algunas fórmulas y teoremas.
La transformada de laplace es un tema muy interesante que debe ser estudiado por todas aquellas personas quedeciden dedicarse a la ingeniería, ya que nos permite desarrollar funciones continuas por tramos, como por ejemplo, el voltaje aplicado a un circulo, esto puede parecer difícil de desarrollar, pero no imposible y esto es gracias a la transformada de laplace, siendo así una valiosa herramienta en nuestra carrera.

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

I. OBJETIVOS
* OBJETIVO GENERAL:
Analizar yponer en práctica las fórmulas y teoremas de la transformada de la place.

II. JUSTIFICACIÓN
Se ha realizado el siguiente trabajo con la justificación, de que gracias a la Transformada de la Place podemos encontrar el voltaje aplicado a un circuito y representarlo de manera gráfica.

III. DESARROLLO DEL TEMA

1. DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Como sabemos ladiferenciación y la integración transforman una función en otra función; por ejemplo, la funciónfX=x2 se transforma, respectivamente, en una función lineal, una familia de funciones polinomiales cúbicas y en una constante, mediante las operaciones de diferenciación, integración indefinida e integración definida:
ddxx2=2x; x2dx=x3 3; 03x2dx=9

Además, esas tres operaciones poseen la propiedad delinealidad. Esto quiere decir que para cualesquier constantes α y β

ddxα fx+ βgx =α ddxfx+βddxgx

α fx+ βgx dx=α fxdx+βgxdx

abα fx+ βgx dx=αabfxdx +βabgxdx
Siempre y cuando exista cada derivada e integral.

La transformada de Laplace.:
Sea la función f una función definida para t mayor o igual que cero.

Lft=0∞e-stf(t)dt

Cuando la integral definitoria (2) converge, el resultado es unafunción de s. En la descripción general emplearemos letras minúsculas para representar la función que se va a transformar y la mayúscula correspondiente para denotar su transformada de Laplace; por ejemplo:
Lft=Fs, Lgt=Gs, Lyt=Ys
Ejemplo: Aplique la definición para Evaluar: L{1}
Solución

L1=0∞e-stf(1)dt=limb→∞0be-stdt

=limb→∞e-sts]0b=limb→∞-e-sb+1S=1S

Siempre que s >0; en otras palabras, cuando s > 0, el exponente -sb es negativo, y e-sb → 0 cuando b → ∞. Cuando s < 0, la integral es divergente.

El empleo del signo de límite se vuelve tedioso, así que adoptaremos la notación ]0∞ como versión taquigráfica de límb→∞ ( )]0∞; por ejemplo,

L1=0∞e-stdt=-e-sts]0∞=1s;s>0,

Se sobreentiende que en el límite superior queremos decir que e-st→ 0 cuandot →0 y cuando s>0.

L es una transformación lineal para una suma de funciones se puede escribir

a∞e-stα ft+ βgt dt=αabe-stftdt +βabe-stgtdt

Siempre que las dos integrales converjan; por consiguiente,

Lα ft+βgt =αL ft+βLgt =αFs+βG(s)

Se dice que L es una transformada lineal debido la propiedad señalada en la formula anterior.

Condiciones suficientes para la existencia deL{f(t)} No es necesario, que Converja.

La integral que define a la transformada de Laplace; por ejemplo, ni L{f(t)} ni L{et 2} existen.

Las condiciones de suficiencia que garantizan la existencia de L{f(t)} son que f sea continua por tramos en 0,∞. Recuérdese que una función es continua por tramos en 0,∞ si en cualquier intervalo 0≤a≤t≤b hay, cuando mucho, una cantidad finita de puntos tk , k...