Transformada dft

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CAPITULOV

CAPITULOV ANALISIS EN FRECUENCIA DE SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS 5.1.- SERIES DE FOURIER PARA SEÑALES DISCRETAS EN TIEMPO: Las mismas motivaciones que nos condujeron al desarrollo delas series y transformadas de Fourier para señales contínuas, siguen siendo válidas para señales discretas en tiempo: Entre otras ventajas, si una señal se puede descomponer en suma de exponencialescomplejas, cuando esta pase por un sistema LIT, la salida se calculará fácilmente utilizando el principio de superposición. Comencemos analizando el caso de señales discretas periódicas. Sea x(n) unaseñal periódica con período N

Si queremos representar x(n) en base a funciones del tipo ejnk(2π/N) lo primero que debemos comprender es que solo existen N distintas ( 0 < k N1 ó N1 si N1 > N2siempre y cuando se busque primero el máximo entre N1 y N2 , y luego se calcule la DFT con un número de puntos igual al mayor de los dos.

2º Desplazamiento circular de una secuencia DFT ( x(n+L)circular) = X(k) e j(2π/N) kL El desplazamiento circular se realiza recordando que al realizar la DFT estamos convirtiendo a la secuencia en periódica. Ejemplo de convolución circular:

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x(n) x(n-1) circular 2

1

.0.75 . .2

.

2 1

.0.75 .

.

.-1
1

.
-1

Se entiende más fácil s se recuerda la periodicidad implícita

.0.75 .

1

.0.75 .

.2
-11

.0.75 .

.2
-1

.0.75 . .

.2
-1

-1

.

.

3º- Simetría: Si x(n) es una secuencia real de N puntos, entonces: Re(X(k))=Re(X(N-k)) Im(X(k))=-Im(X(N-k)) |X(k)|=|X(N-k)|arg(X(k))=-arg(X(N-k))

4º.- Convolución circular: Cuando se crea el producto de las DFT de dos secuencias x1(n) y x2(n), la secuencia resultante , que llamaremos x3(n), corresponderá a la convolucióncircular de las secuencias x1(n) y x2(n) escaladas por (1/N). Es decir si X3(k)=X1(k)X2(k) , entonces:

Ejemplo: Se desea convolucionar en forma circular las secuencias que se indican:

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