Transformada z

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8
Transformada Z
La bibliografía para el estudio de este tema es: el Capítulos 3, “Z Transform” y el Capítulo 5, “Transform Analysis of Time-Invariant Systems” del libro de Oppenheim, A., Schafer, R., Discrete-Time Signal Processing, 2da. Edición, Prentice-Hall, Inc., 1998.

8.1.

Idea de la demostración del Teorema de Cauchy
I

Se desea probar que

C

z

k

dz =

2πj, 0,

sik = 1, si k = 1,

(8.1)

donde C es un contorno cerrado que rodea al origen y orientado en sentido antihorario (Fig. 8.1). Es conveniente introducir el cambio de variables z = r (θ ) e jθ parametrizando el contorno C en función del ángulo θ. Es evidente que dz = d r (θ ) jθ d e jθ e + r (θ ) dθ dθ dθ

= r 0 (θ ) e jθ dθ + j r (θ ) e jθ dθ.
Para k = 1, el integrando es z
k

dz = z

= =dz h i 1 r 0 (θ ) e jθ + j r (θ ) e jθ dθ r (θ ) e jθ r 0 (θ ) dθ + j dθ. r (θ )

1

1

2

8. Transformada Z

Im
r (q)e jq

r (q)
q Re

Fig. 8.1. Contorno de integración para la Ec. 8.1.

Por lo tanto,
I

C

z

1

dz =

= 2πj

dθ + j dθ r (θ ) 0 Z 2π Z 2π d = j dθ [ln r (θ )] dθ + dθ 0 0 = ln r (θ )j2π + jθ j2π 0 0
0

Z 2π 0 r (θ )

Z 2π

(8.2)

pues r(0) = r (2π ) , y además r (θ ) 6= 0 para todo θ 2 [0, 2π ) pues el contorno de integración rodea al origen. Para el caso en que k = m z
m

2, se tiene que h i 1 r 0 (θ ) e jθ + j r (θ ) e jθ dθ r m (θ ) e jmθ 1 d 1 dθ m 1 dθ r m 1 (θ ) e j(m 1)θ

dz =

=
y entonces,
I

C

z

m

dz =

Z 2π
0

1 m

d 1 dθ r m

1

1 ( θ ) e j(m

1) θ



=

1

m = 0.

1 m ( θ) e jmθ 1 r

2π 0

(8.3)

Finalmente, si k =

0), resulta h i z m dz = z p dz = r p (θ ) e jpθ r 0 (θ ) e jθ + j r (θ ) e jθ dθ i 1 d h ( p +1) = r (θ ) e j( p+1)θ dθ, p + 1 dθ

p

0 (es decir, p

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8.2. Ejemplos de aplicación de la transformada Z
y entonces
I

3

C

z

k

dz =

i 1 d h ( p +1) r (θ ) e j( p+1)θ dθ C p+ 1 dθ i 2π 1 h ( p +1) = r ( θ ) e j ( p +1) θ p+1 0 = 0.

=

I

I

C

z p dz

(8.4)

De (8.2)-(8.4) queda probado (8.1).

8.2.

Ejemplos de aplicación de la transformada Z

8.2.1. Propiedad de convolución

E JEMPLO 8.1. Cálculo de la convolución entre dos sucesiones Se debe calcular la convolución entre la sucesión x [n] = an u[n], donde se supone que j aj < 1, y lasucesión h[n] = u[ n 1]. En este ejemplo se exploran dos alternativas:
Cálculo de la convolución por de…nición: Si y[n] = x [n] h[n], como x [n] es causal y h[n] es no causal se encuentra que ( ∞ si n < 0, ∑ k =0 x [ k ] h [ n k ] , y[n] = ∑ x [k]h[n k]y[n] = ∞ ∑k=n+1 x [k]h[n k], si n 0. k Entonces, para n < 0 se tiene que y[n] = Por otra parte, si n y[n] = 0, k] =

k =0

∑ x [k]h[n
∞ ∞



k]=

k =0

∑ ak = 1
n



1 a

.

k = n +1





x [k]h[n

k = n +1



ak =

k =0

∑ ak
8 < :

k =0

∑ ak = 1

1 a

1

a n +1 a n +1 = . 1 a 1 a

Por lo tanto, y[n] = x [n] h[n] =

1 1 a, a n +1 1 a,

si n < 0, (8.5) si n 0.

Cálculo de la convolución aplicando la transformada Z En general,es mucho más sencillo antitransformar el producto de lastransformadas Z de las sucesiones que efectuar el cálculo de la convolución por de…nición. en este caso, x [n] = an u[n] h[n] = u[ n 1]

() X (z) = ()
Z

Z

1 , j z j > j a j, 1 az 1 ( 1) H (z) = , jzj < 1. 1 z 1

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8. Transformada Z

Como j aj < 1, las regiones de convergencia de X (z) y de Y (z) se solapan en j aj < jzj < 1, yentonces se puede de…nir Y (z) = X (z) H (z) = 1 az
1

1

1

( 1) , para j aj < jzj < 1. z 1

Expresando Y (z) en fracciones parciales, Y (z) = donde A0 A1 Por lo tanto, Y (z) = a 1 a 1 1 az
1

1

A0 az

1

+

1

A1 z

1

,

= =

Y (z)(1 Y (z)(1

( 1) z= a 1 z 1 ( 1) = z 1) z =1 1 az 1
az
1

)

=

=
z= a

z =1

1 a , = 1 1 a 1 a 1 = . 1 a

+

1

1 a...
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