Transformada z

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Definir la transformada z
La transformada z es un modelo matemático para describir y analizar el comportamiento de sistemas discretos (secuencias de números reales) lineales e invariantes con el tiempo o desplazamiento, la cual es utilizada para aplicaciones sobre procesamiento de señales digitales, como pueden llegar a ser el análisis de proyectos de circuitos digitales, en telecomunicaciones yen sistemas de control por computadoras.
Los sistemas de control en tiempo discreto son aquellos sistemas en los cuales una o más de las variables pueden cambiar sólo en valores discretos de tiempo. Estos instantes, los que se denotarán mediante kT (k = 0, 1, 2, ..., T = periodo de muestreo), pueden especificar los tiempos en los que se lleva a cabo alguna medición de tipo físico, o los tiemposen los que se extraen los datos de la memoria de una computadora digital.

El intervalo de tiempo entre dos instantes discretos consecutivos se supone lo suficientemente corto, como para aproximar el dato de dichos instantes discretos consecutivos con una interpolación sencilla.

Al considerar la transformada z de una función del tiempo x ( t ) , sólo se tienen en cuenta los valoresmuestreados de dicha función: x( 0) , x (T) , x ( 2T) , ... siendo T el período de muestreo.

La transformada z de una función del tiempo x ( t ) , donde t es positivo, o de la secuencia de valores x (kT) , donde k adopta valores mayores o iguales que cero y T es el período de muestreo, se define mediante la siguiente expresión

Para una secuencia de números x ( k) , la transformada z se define como:La transformada z definida mediante estas ecuaciones se conoce como transformada z unilateral. La transformada z viene representada por el símbolo
Z. En la transformada z unilateral, se supone que x ( t ) = 0, x ( k ) = 0, para valores negativos de t y k. Así mismo, z es una variable compleja.

Por ejemplo, la transformada z de la secuencia impulso que viene definida por x ( 0) = 1, x ( 1) =0, x ( 2) = 0, ... será:

Es importante resaltar que, cuando se trata con una secuencia de tiempo x(kT) obtenida mediante muestreo, la transformada z, X ( z ) , involucra al periodo de muestreo T. Por otro lado, para una secuencia de tiempo x ( k ) , la transformada no incluye explícitamente a T.

La transformada z de x ( t ) , para - < t < , o de x ( k ) , donde k adopta cualquier valorentero o cero, se define mediante las siguientes ecuaciones:

La transformada z definida mediante estas ecuaciones se conoce como transformada z bilateral, en la que se supone que x ( t ) es distinta de cero y que la secuencia x ( k) tiene valores distintos de cero, para valores negativos de t y k.
Como se aplica la transformada z

Esta es una tabla la cual facilita la realización de latransformada
Ejemplo
Sea y sea X[n] la secuencia obtenida al muestrear X(t) cada T segundos. Hallar X[Z].
Solución

por consiguiente,

Sabiendo que

Se tiene

Sí el periodo de muestreo T = 1, se tiene

En muchas áreas de ingeniería se utilizan procesos estocásticos o aleatorios para construir modelos de sistemas tales como conmutadores telefónicos, concentradores de redes decomunicación de datos, sistemas de tráfico, líneas de atención a clientes en un banco o un supermercado, etc.
La construcción de los modelos permite analizar los sistemas para evaluar su desempeño y proponer mejoras a los mismos, o bien, evaluar el impacto de algunos cambios en su operación antes de implantarlos.

Teoremas y propiedades de la transformada z

Linealidad. Si X1[n] y X2[n] son dossecuencias discretas con transformadas X[Z] y X2[Z], entonces: Z(a1X1[n]+a2X2[n])=a1X1[Z]+a2X2[Z]. Siendo a1 y a2 constantes arbitrarias.

Desplazamiento temporal.Sea X[n] una secuencia causal con transformada X[Z]. Entonces, dado cualquier entero n0>0, se tiene :

Simultáneamente, se puede demostrar que

Multiplicación por an. Si X[Z] es la transformada Z de X[n], entonces la transformada...
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