Transformada z

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Tema 11. Transformada z
Prof. William La Cruz Bastidas 2 de julio de 2002

Tema 11

Transformada z
11.1 Transformada z

En esta secci´n introducimos la transformada z de una se˜ al discreta. Se pueden distinguir dos o n tipos de transformada z: Bilateral y Unilateral. Definici´n 11.1 (Transformada z Bilateral) Se define la Transformada z Bilateral de o una se˜al discreta x(n) como n
∞X(z) =
n=−∞

x(n)z −n ,

donde z es una variable compleja. En s´, la transformada z bilateral de una se˜al discreta es una ı n funci´n anal´tica en cierto dominio, que se denomina regi´n de convergencia. o ı o Definici´n 11.2 (Transformada z Unilateral) Sea x(n) una se˜al discreta. o n Transformada z Unilateral de x(n) como


Se define la

X (z) =
n=0

x(n)z −n ,

donde z es unavariable compleja. En s´, la transformada z unilateral de una se˜al discreta es ı n una funci´n anal´tica en cierto dominio, que se denomina regi´n de convergencia. o ı o En adelante para referirnos a la transformada z bilateral diremos, simplemente, transformada z. Cuando queramos resaltar si se est´ utilizando la transformada z bilateral o unilateral, lo a indicaremos. La transformada z se denominaa veces transformada z directa porque transforma una se˜ al n en el dominio del tiempo x(n) en la se˜ al compleja X(z). El procedimiento inverso, es decir, el n que obtiene x(n) a partir de X(z), se denomina transformada z inversa y se discute en la Secci´n o 4.3. Por conveniencia, la transformada z de una se˜ al x(n) se denota por n X(z) ≡ Z {x(n)} mientras que la relaci´n entre x(n) y X(z) seindica mendiante o x(n) ←→ X(z) 1

TEMA 11. TRANSFORMADA Z

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y se denomina par de transformadas z. Dado que la transformada z es una serie infinita de potencias, ´sta existe s´lo para aquellos e o valores de z para los que la serie converge. La regi´n de convergenica, ROC, de X(z) es el conjunto o de todos los valores de z para los que X(z) es finita. Por lo tanto, siempre que hablemos de unatransformada z debemos indicar tambi´n su ROC. e Ejemplo 11.1 Calcular las tranformadas z bilateral y unilateral de x(n) = a n u(n), a ∈ C y especifique su regi´n de convergencia. o Soluci´n. Se tiene que o


X(z) = = =
n=0

an u(n)z −n
n=−∞ ∞ n −n

a z

n=0 ∞

(az −1 )n ,

esta serie converge si es absolutamente convergente, es decir, si


az −1
n=0

n

|a|.

11.2Transformada z Inversa

A menudo, tenemos la transformada z de una se˜ al y queremos determinar la se˜ al. Supongamos n n que la se˜ al x(n) posee transformada z, X(z), cuya ROC es el anillo r 1 < |z| < r2 , con r1 > r2 > 0. n Daremos tres m´todos alternativos para calcular la transformada z inversa: Integraci´n Compleja, e o Inversi´n con Tablas y Expansi´n en Serie de Potencias. o o Integraci´nCompleja o Como X(z) es una funci´n anal´ o ıtica en el anillo, la transformada inversa z se reduce a integrar una funci´n anal´ o ıtica a lo largo de un contorno cerrado simple. En otras palabras, x(n) = 1 2πj X(z)z n−1 dz,
C

donde C = {z ∈ C : |z| = r, r1 < r < r2 }. Para calcular x(n) a trav´s de este m´todo, se puede utilizar el teorema integral de Cauchy o e e el Teorema de los Residuos. TEMA 11. TRANSFORMADA Z Ejemplo 11.2 Calcular la transformada z inversa de X(z) = 1 1 − az −1 ROC: |z| > |a|.

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Soluci´n. Sea C la circunferencia |z| = r > |a|. As´ o ı, x(n) = 1 2πj X(z)z n−1 dz =
C

1 2πj

C

zn dz. z−a

Supongamos que n ≥ 0. Aplicando el Teorema de los Residuos x(n) = Res zn z−a = an .
z=a

Cuando n < 0, entonces aplicamos nuevamente el Teorema de losResiduos x(n) = Res zn z−a + Res
z=0

zn z−a

= −an + an = 0.
z=a

Por lo tanto, la transformada z inversa de X(z) es x(n) = an u(n). Inversi´n con Tablas o Este m´todo consiste en expresar a X(z) como una suma e X(z) = X1 (z) + X2 (z) + · · · + Xk (z), (11.1)

donde X1 (z), X2 (z), . . . , Xk (z) son funciones tales que se les conoce su transformada z inversa x1 (n), x2 (n), . . . , xk...
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